[Lezioni sulla teoria geométrica delle equazioni e delle funzioni algebriche]. Obra del mate­mático italiano Federigo Enriques (1871- 1946), escrita en colaboración con Oscar Chisini (n. 1883) publicada en Bolonia en cuatro volúmenes (1915, 1918, 1924, 1933).

El título de esta obra induce a creer que se trata de una contribución al álgebra; en realidad su principal objeto consiste en ex­poner metódicamente, en su conjunto, todo cuanto constituye la actual teoría de las curvas planas, sin excluir alguna incursión por la geometría del espacio; se advierte en esta obra una manifestación de la creen­cia ya general sobre la oportunidad de borrar la línea de separación entre las dos ramas fundamentales de la matemática, para constituir una disciplina única que debe designarse con el nombre de «teoría de las cantidades continuas». El programa desarro­llado abraza toda la geometría concerniente a este respecto; pero no se trata de un vo­lumen de tipo enciclopédico; por estar des­tinado a la enseñanza de una ciencia fun­dada en la razón, nada se enuncia en él sin ser demostrado, y aun en los casos en que puede suscitarse la controversia no fal­tan oportunas discusiones. La amplitud y variedad de la materia hace imposible re­sumir el contenido de la obra en pocas pa­labras, por lo que nos vemos obligados, para ser claros, a exponer, aunque de manera compendiada, lo que contienen los seis li­bros en que está repartida.

En el I, designa­do con el título de «Introducción», los auto­res dan a conocer el estrecho vínculo que existe hoy entre álgebra y geometría, gracias al concepto de coordenadas; en efecto, las ecuaciones de una incógnita constituyen la imagen de los grupos de puntos, mientras las de dos representan las curvas planas, o la correspondencia entre los puntos de dos rectas; es obvia la generalización para más variables. De suma importancia es el último capítulo del mismo libro, donde los autores tratan algunas nociones generales y las consecuencias que se derivan de ellas; así se encuentran en él las paradojas del infinito, el concepto de potencia de un conjunto en sus relaciones con la idea de dimensión, la compatibilidad de las ecua­ciones de un sistema, finalmente, el prin­cipio de Plücker-Clabsch y el cómputo de las constantes. En el II libro se introduce el concepto de «correspondencia» en varios aspectos, concepto que, como es notorio, desde hace casi un siglo es la base de toda la investigación geométrica; en particular los autores se detienen en el caso de la «involución» y sus varios casos particulares.

Un capítulo complementario concierne a la teoría general de las funciones algebrai­cas y al estudio de éstas por medio de las superficies de Riemann. Para profundizar en el conocimiento de las curvas planas ofrece un medio eficacísimo la teoría de la polaridad expuesta en el libro III. Sirve de guía, ante todo, para las curvas cova­riantes de una curva plana; se aborda des­pués el estudio de la intersección de dos curvas planas, preliminar indispensable para la investigación de las singularidades supe­riores de dichas curvas. Seguidamente, los autores se detienen a considerar las cúbicas planas, con particular atención a la confi­guración constituida por sus puntos de in­flexión. El libro se cierra con un capítulo en que se leen consideraciones de realidad y de continuidad concernientes a las curvas en general, con especial atención al método relativo, ampliamente usado por H. Schubert. Las singularidades de las curvas pla­nas tienen tanta y tal importancia para el conocimiento de éstas que los autores con­tinúan estudiándolas en el libro IV, donde este tema es tratado desde tres distintos puntos de vista, esto es: a) mediante los desarrollos en serie (Puiseux); b) sirviéndo­se de transformaciones cuadráticas; c) me­diante el cálculo diferencial. En un último capítulo (que constituye casi una digresión respecto a cuanto precede) son estudiadas las irregularidades de las curvas alabeadas y de las superficies algebraicas.

Con el V libro se entra en el estudio de los entes algebraicos constituidos por un número simplemente infinito de elementos. Se trata de una de las más recientes conquistas de nuestra ciencia; es un tema que va espe­cialmente dirigido y recomendado a los que aspiran a colaborar en un tema que está hoy en pleno desarrollo. La exposición se inicia con el estudio de las series lineales, y los resultados hallan acto seguido aplica­ción a las curvas planas en relación con las transformaciones cremonianas; se pasa después a la consideración de las transfor­maciones de que son susceptibles las curvas de un género dado y de la noción de los «módulos». El penúltimo capítulo del mismo libro V tiene por tema las transformaciones de una curva plana en otra, mientras en el último los autores abandonan el plano, dando a conocer la representación analíti­ca de las curvas irregulares y su clasifica­ción. Para desentrañar completamente el estudio de las curvas, el álgebra no es su­ficiente; es necesario recurrir a las fun­ciones de variable compleja, ya en general, ya en algunos casos especiales; precisamente las funciones elípticas y abelianas son estudiadas en el libro VI, donde están ex­puestas sus propiedades esenciales, su cla­sificación y los subsiguientes problemas de inversión.

G. Loria

[Vorlesungen über Geschichte der Mathematik], Obra de Moritz Cantor (1829-1920) en cuatro volúme­nes. El primero, publicado en 1880, com­prende la historia de las matemáticas puras desde los tiempos más antiguos hasta el 1200 d. de C.; el segundo, publicado en 1892, va del 1200 al 1668; el tercer volumen abarca el período comprendido entre 1668 y 1758; finalmente, el cuarto volumen (1908), realizado en colaboración con otros auto­res, pone al día las cuestiones que recibieron mayor incremento hasta el fin del siglo XVIII. Si bien esta obra supera a la Historia de las matemáticas (v.) de Montucla, por ofrecer una exposición más docta y analítica, basada en las más recientes in­vestigaciones sobre documentos hasta enton­ces inéditos o poco estudiados, es no obs­tante inferior a la citada, por su estilo más árido y por un defecto de ordenación de todo el trabajo. Una larga serie de enmien­das y correcciones fue publicada por G. Enestróm y otros en su Biblioteca mathematica.

El primer volumen se abre con una introducción sobre el origen de los sis­temas de numeración. Las demás partes son: I, Aritmética y Geometría egipcias; II, Los babilonios; III, Los griegos, dividido de este modo: Cálculo numérico digital y de las tablillas; Tales; aritmética y geometría de la escuela pitagórica; otros matemáticos no pitagóricos, Hipócrates de Quíos, Platón, la Academia y Aristóteles, la escuela Alejan­drina, Euclides, Arquímedes, Eratóstenes, Apolonio de Perga; los epígonos de los gran­des matemáticos, Herón de Alejandría, la geometría y la trigonometría hasta Tolomeo, los neopitagóricos Nicómaco, Teon, Timárides, Sexto Julio Africano, Pappo Alejandrino; la decadencia de la matemática griega; IV, Los romanos; los agrimensores; literatura matemática; V, Los hindúes. VI, Los chinos; VII, Los árabes; VIII, La ciencia monástica medieval hasta los abacistas. Éste es él volumen más interesante, ante todo por tratar del nacimiento y desarrollo de la matemática clásica griega, y también el más erudito, en toda su arqui­tectura, tal vez por ser el más profundizado por el autor.

El segundo volumen está di­vivido en los siguientes apartados: IX, Des­de 1200 a 1300, época en que se desarrolla extensamente el despertar de los estudios matemáticos con los nombres de Leonardo Pisano, de Giordano el Nemorario, del Sacrobosco, de Giovanni Campano; X, De 1300 a 1400 comprende los matemáticos in­gleses, franceses, alemanes, italianos; XI, De 1400 a 1450, Perbach, Nicolai de Cusa y los italianos; XII, De 1450 a 1500, Regiomontano, Alberti, Leonardo da Vinci, Luca Faciolo y otros italianos y franceses; XIII, Del año 1500 a 1550, comprende matemáticos fran­ceses, españoles, portugueses, alemanes, in­gleses, italianos, y la revolución de las ecuaciones cúbicas con Ferrari, Tartaglia, Cardano, etc. XIV, De 1550 a 1600, sobre todo con el álgebra de Vieta; XV, De 1600 a 1668; comprende los desarrollos de la tri­gonometría y de la ciclometría, de la mecá­nica teórica y práctica, el descubrimiento de los logaritmos, la técnica de los núme­ros, la geometría analítica y los nombres de Kepler, Cavallieri, Descartes, Fermat, Roberval, Torricelli, Grégoire de St. Vincent, Wallis, Pascal, De Sluse, etc. El tercer vo­lumen, de 1668 a 1758, con las partes XVI- XVIII, comprende el desarrollo del cálculo infinitesimal, y entre otros muchos los de Gregory, Newton, Leibniz, Bernouilli, Maclaurin, Cramer, etc.

El cuarto volumen, del 1759 al 1799, fue realizado en colabora­ción, de la forma siguiente: XIX, por G. Günther, con un capítulo histórico; XX, por S. Cajuri, con la aritmética, el álgebra y la teoría de los números; XXI, por E. Netto, con el análisis combinatorio, el cálculo de las variaciones, la serie, los números ima­ginarios. XXII, por V. Bobynin, con la geometría elemental; XXIII, de A. von Braünmuhl, con la trigonometría y poligonometría; XXIV, por V. Kommerle, con la geometría analítica del plano y del espacio. XXV, por G. Loria, con la perspectiva y la geometría descriptiva; XXVI, por G. Vi­vante, con el cálculo infinitesimal; XXVII, por C. R. Wullner, con las ecuaciones dife­renciales totales y parciales, con el cálculo de las diferencias y de las sumas; XXVIII, por M. Cantor, con una revista de los tiemtos desde 1758 a 1799. Todos los volúmenes van acompañados de un índice alfabético de los nombres y de las cosas notables.

P. Pagnini

[Vorlesungen über die Geschichte der Philosophie]. Obra de Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770- 1831), que comprende las lecciones profesa­das por el gran filósofo alemán en Heidel- berg y en Berlín; publicadas, sobre las notas tomadas por los oyentes, por Michelet en los volúmenes XIII-XV de las Obras de Hegel (Berlín, 1832), fueron reimpresas en la Jubilaumausgabe de 1927-29 y destinadas, previa revisión sobre otros manuscritos por Hoffmeister, a formar los volúmenes XV- XVIII de la edición crítica de Leipzig. Las Lecciones, tal como fueron publicadas por Michelet, se remontan a un manuscrito hegeliano de 1805, varias veces modificado y revisado por el autor; contienen por ello, a menudo, contradicciones, y presentan des­proporciones notables entre la primera parte y las restantes. A pesar de estos evidentes defectos de estructura, constituyen una obra fundamental de la historiografía filo­sófica, aquella, podríamos decir, de donde derivan los métodos y los problemas de la nueva historia de la filosofía. En una vasta «introducción» Hegel expone el concepto de la historia de la filosofía.

La filosofía, en su idea, es la conciencia de la racionalidad de lo real, o, desde un punto de vista metafísico, la autoconciencia de la Razón abso­luta como principio eterno y autónomo de lo real. En cuanto esta autoconciencia está espiritualmente en acto, es proceso, des­envolvimiento, historicidad. La idea de la filosofía tiene su realidad concreta en la historia de la filosofía. Ésta, a su vez, tiene en ella su criterio de organicidad y de con­tinuidad. De esto deriva la convicción de que los diversos sistemas filosóficos repre­sentan arbitrarias y discontinuas intuicio­nes de la realidad, determinadas por el sujeto pensante. En cada uno de ellos vive y actúa, positiva o negativamente, el pen­samiento de los que la han precedido, de manera que en ellos el pensador individual no es sino el transmisor de un pensamiento universal, de una autoconciencia racional que se desarrolla por grados, cada uno de los cuales niega a los precedentes en lo que tienen de finito, y al mismo tiempo los ve­rifica en una síntesis más amplia. La historia de la filosofía deberá tener en cuenta tres momentos esenciales: el uno consiste en que la filosofía, en sus dos formas concretas, es siempre la expresión de un aspecto de la idealización de lo real, de la espiritualidad de la vida de un pueblo, que después de haberse experimentado trágicamente, ha llegado a tener conciencia de sí, de su sentido universal y ha adquirido la forma del pensamiento.

El otro momento consiste en que toda forma de la filosofía, precisamente en cuanto se eleva sobre el plano del espí­ritu objetivo, sobre las vicisitudes históricas, expresa, según una dirección suya, la pura exigencia teorética. La historia de la filoso­fía, pues, mientras sigue la historia de la cultura, tiene una propia continuidad ideal: el hacerse actual, a través de una dialéctica compleja que recorre las diversas catego­rías del sistema racional. «El desarrollo de los sistemas de la filosofía en la historia — escribe Hegel — es el mismo que el des­arrollo, en la esfera lógica, de las determinaciones conceptuales de la idea». El tercer momento está, en fin, en la relación que la esfera especulativa tiene con la estética y de manera particular con la religiosa; rela­ción dialéctica que tiende a resolverse en la transformación del contenido de los dos últimos en la forma teorética del concepto, en que tiene plena verdad. La historia de la filosofía es, pues, concebida por Hegel de manera que cada sistema es considerado tanto en su efectiva determinación histórica, cuanto como un momento de la actualiza­ción, en el saber concreto, de la idea misma del saber absoluto.

Aparece de una parte, en su relatividad, respecto al espíritu de un pueblo y de un tiempo, pero, por eso mismo, en su valor ideal, como acto de un momento de la idea, habiéndose cristali­zado en una situación histórica pero reno­vándose necesariamente en un filosofar con­creto, aunque sea para una más amplia integración. La historia de los sistemas no es ni la historia de errores caducos, ni la de parciales verdades accidentales; es la his­toria de la concreción de la verdad, según sus momentos universales, a través de la experiencia espiritual de la humanidad. Por esto la filosofía tiene conciencia de sí, de su propia naturaleza y de su propio principio, sólo en cuanto reconoce su propia historicidad. En este reconocimiento reside la suprema garantía de la pureza y la universalidad del propio criterio teoré­tico. Como Hegel declara que el Oriente, en cuanto no conoce la libertad del espíritu, no tiene verdadera filosofía, ha intentado en una exposición de la filosofía oriental, que se presenta como apéndice a la intro­ducción, mostrar que es sólo un presenti­miento del verdadero filosofar.

Éste se des­arrolla según tres momentos que correspon­den a tres períodos históricos. Ante todo, la razón se afirma en su libertad y autono­mía; éste es el período de la filosofía griega que, desde los ionios a Aristóteles, funda el reino autónomo y el método de la razón para decaer en la antítesis del sistema es­toico y epicúreo, y en su negación dialéc­tica por obra del escepticismo, el cual abre el camino a la experiencia religiosa, en cuya forma se oscurece y se nubla la auto­nomía de la razón. El Cristianismo es el reconocimiento de un dualismo radical entre fe y razón, entre suprasensible y sensible, entre inteligible y real, que la filosofía me­dieval desarrolla y tiende a resolver. En la filosofía moderna la razón reafirma sus de­rechos pero no ya como reino que trasciende la realidad, sino como principio y vida de la realidad misma, que se reconoce como actualidad de lo ideal, como espíritu vi­viente en la conciencia de su libertad. La historia de la filosofía hegeliana inicia un nuevo período en la historiografía filosófica. Abandonada la rigidez sistemática de los primeros discípulos, se desarrolla con Zeller y Fischer, con un realce cada vez más am­plio de las relaciones culturales y de las estructuras teoréticas. A pesar de las pro­fundas transformaciones en este campo del saber, no sólo todavía hoy algunos de los análisis hegelianos, especialmente relativos al primer período de la filosofía antigua y a la filosofía moderna, no han perdido su valor, sino que el espíritu de su investiga­ción, y los problemas que ella plantea, re­viven en la complejidad y variedad de direcciones de la historia filosófica contem­poránea.

A. Banfi

[Vorlesungen über Praktische Philosophie]. Obra póstuma de Paul Natorp (1854-1924), el mayor repre­sentante, después de Cohén, de la escuela neokantiana de Marburgo, publicada en 1925 en Erlangen. En esta obra, de lectura indudablemente difícil, se desarrolla la últi­ma dirección del pensamiento del autor, dominado por una estricta exigencia siste­mática, por un lado, y por una tonalidad religioso metafísica, por otro. El neokantismo de Marburgo es la aplicación integral del método trascendental kantiano al des­cubrimiento de la estructura de la expe­riencia considerada en su proceso. Si en primer lugar el aspecto teorético de la ex­periencia es precisamente fundamental, en segundo lugar, tanto en Cohén como en Natorp, la experiencia adquiere preponde­rancia en todos sus planos y el método trans­cendental se extiende.

En las Lecciones sobre la filosofía práctica, Natorp quiere ante todo ofrecer un sistema general de las catego­rías como principios estructurales «del ser en cuanto existencia, esto es, en cuanto deviene, actúa, se realiza, del ser viviente, en suma, y que vive su vida en sentido activo, esto es, de la teoría, de la praxis y de la «poiesis», concebidas en su íntima relación. El fundamento unitario del siste­ma de las categorías tiene por objeto ilus­trar el fundamento unitario de la vida en la trabazón de aquellas tres direcciones». El sistema de las categorías, que aquí no pue­de ser expuesto en su diferenciación, en su esquema general corresponde a la tensión entre finito y superfinito, entre individual y universal, que constituye la ley funda­mental de la dialéctica de la vida considerada aquí en su ilimitada inquietud. Si en la «teoría» esta tensión es puesta en forma general como problema, en la «praxis» su solución se muestra como un deber ser in­finito, y en la «poiesis» como vida de la individualidad misma en su interior profun­didad. La «praxis» se determina según tres planos: el primero es el de la economicidad, cuyo concepto fundamental es el trabajo, que halla en ella la posibilidad de su libre y fecundo desarrollo; el segundo es el del derecho, cuyo concepto fundamental es el querer, que de su singularidad se eleva a la unidad de un fin ideal; el tercero es el de la educación, cuyo concepto fundamental es la sociedad como principio concreto e individual de actividad libre y económica de los individuos.

La vida espiritual es en­tendida como proceso infinito que precisa­mente por su ilimitada dialéctica reposa en el seno de lo eterno: «No hay muerte para la vida, no hay fin que no sea a su vez nuevo principio. El objeto último no está en una perfección definitiva, aunque el querer lo pida. Porque el querer no es toda ni la última realidad. El querer se disuelve en la creación, el destino en una victoriosa superación; el uno y el otro en el acto de la creación eterna. No se puede hablar de ninguna solución de los proble­mas que signifique la superación de la pro­blemática. Lo incompleto de la creación nos garantiza la unitaria totalidad de lo super­finito. La vida rechaza todo término, toda conclusión. Quien haya comprendido esto no se asustará ante ninguna revolución». Este proceso infinito es el destino espiritual de toda criatura, de toda sociedad, de toda persona. La «praxis» culmina en la educa­ción; en la formación de la persona para su misión humana y su libertad; el grado más alto es la sabiduría filosófica que se halla desligada de todo vínculo con lo finito en cuanto reconoce la esencialidad de la infi­nita dialéctica de lo vivo; su pleno cumpli­miento es la adhesión a ella en la conciencia religiosa.

Porque lo trágico de la natura­leza humana está en esto: «que se cumple en la muerte que libera al hombre de los vínculos terrenales, para la vida más ver­dadera, en el despertar a la vida de lo Eterno en él». Esta obra de Natorp, cuya eficacia, por muchas razones, ha sido casi nula, es rica en una compleja problemá­tica filosófica, y permanece como testimo­nio, por un lado, de la conexión entre mé­todo trascendental y método dialéctico, y por otro, del renovado paso de la posición crítica kantiana a la metafísica idealista que caracteriza a la filosofía de la segunda y tercera década de este siglo en alemania.

A. Banfi