Lecciones sobre la Teoría Geométrica de las Ecuaciones y de las Funciones Algebraicas, Federigo Enriques

[Lezioni sulla teoria geométrica delle equazioni e delle funzioni algebriche]. Obra del mate­mático italiano Federigo Enriques (1871- 1946), escrita en colaboración con Oscar Chisini (n. 1883) publicada en Bolonia en cuatro volúmenes (1915, 1918, 1924, 1933).

El título de esta obra induce a creer que se trata de una contribución al álgebra; en realidad su principal objeto consiste en ex­poner metódicamente, en su conjunto, todo cuanto constituye la actual teoría de las curvas planas, sin excluir alguna incursión por la geometría del espacio; se advierte en esta obra una manifestación de la creen­cia ya general sobre la oportunidad de borrar la línea de separación entre las dos ramas fundamentales de la matemática, para constituir una disciplina única que debe designarse con el nombre de «teoría de las cantidades continuas». El programa desarro­llado abraza toda la geometría concerniente a este respecto; pero no se trata de un vo­lumen de tipo enciclopédico; por estar des­tinado a la enseñanza de una ciencia fun­dada en la razón, nada se enuncia en él sin ser demostrado, y aun en los casos en que puede suscitarse la controversia no fal­tan oportunas discusiones. La amplitud y variedad de la materia hace imposible re­sumir el contenido de la obra en pocas pa­labras, por lo que nos vemos obligados, para ser claros, a exponer, aunque de manera compendiada, lo que contienen los seis li­bros en que está repartida.

En el I, designa­do con el título de «Introducción», los auto­res dan a conocer el estrecho vínculo que existe hoy entre álgebra y geometría, gracias al concepto de coordenadas; en efecto, las ecuaciones de una incógnita constituyen la imagen de los grupos de puntos, mientras las de dos representan las curvas planas, o la correspondencia entre los puntos de dos rectas; es obvia la generalización para más variables. De suma importancia es el último capítulo del mismo libro, donde los autores tratan algunas nociones generales y las consecuencias que se derivan de ellas; así se encuentran en él las paradojas del infinito, el concepto de potencia de un conjunto en sus relaciones con la idea de dimensión, la compatibilidad de las ecua­ciones de un sistema, finalmente, el prin­cipio de Plücker-Clabsch y el cómputo de las constantes. En el II libro se introduce el concepto de «correspondencia» en varios aspectos, concepto que, como es notorio, desde hace casi un siglo es la base de toda la investigación geométrica; en particular los autores se detienen en el caso de la «involución» y sus varios casos particulares.

Un capítulo complementario concierne a la teoría general de las funciones algebrai­cas y al estudio de éstas por medio de las superficies de Riemann. Para profundizar en el conocimiento de las curvas planas ofrece un medio eficacísimo la teoría de la polaridad expuesta en el libro III. Sirve de guía, ante todo, para las curvas cova­riantes de una curva plana; se aborda des­pués el estudio de la intersección de dos curvas planas, preliminar indispensable para la investigación de las singularidades supe­riores de dichas curvas. Seguidamente, los autores se detienen a considerar las cúbicas planas, con particular atención a la confi­guración constituida por sus puntos de in­flexión. El libro se cierra con un capítulo en que se leen consideraciones de realidad y de continuidad concernientes a las curvas en general, con especial atención al método relativo, ampliamente usado por H. Schubert. Las singularidades de las curvas pla­nas tienen tanta y tal importancia para el conocimiento de éstas que los autores con­tinúan estudiándolas en el libro IV, donde este tema es tratado desde tres distintos puntos de vista, esto es: a) mediante los desarrollos en serie (Puiseux); b) sirviéndo­se de transformaciones cuadráticas; c) me­diante el cálculo diferencial. En un último capítulo (que constituye casi una digresión respecto a cuanto precede) son estudiadas las irregularidades de las curvas alabeadas y de las superficies algebraicas.

Con el V libro se entra en el estudio de los entes algebraicos constituidos por un número simplemente infinito de elementos. Se trata de una de las más recientes conquistas de nuestra ciencia; es un tema que va espe­cialmente dirigido y recomendado a los que aspiran a colaborar en un tema que está hoy en pleno desarrollo. La exposición se inicia con el estudio de las series lineales, y los resultados hallan acto seguido aplica­ción a las curvas planas en relación con las transformaciones cremonianas; se pasa después a la consideración de las transfor­maciones de que son susceptibles las curvas de un género dado y de la noción de los «módulos». El penúltimo capítulo del mismo libro V tiene por tema las transformaciones de una curva plana en otra, mientras en el último los autores abandonan el plano, dando a conocer la representación analíti­ca de las curvas irregulares y su clasifica­ción. Para desentrañar completamente el estudio de las curvas, el álgebra no es su­ficiente; es necesario recurrir a las fun­ciones de variable compleja, ya en general, ya en algunos casos especiales; precisamente las funciones elípticas y abelianas son estudiadas en el libro VI, donde están ex­puestas sus propiedades esenciales, su cla­sificación y los subsiguientes problemas de inversión.

G. Loria