Los descubrimientos matemáticos efectuados en torno al siglo V a. de C., gracias especial­mente a Pitágoras y sus discípulos, fueron indudablemente muy admirados por sus contemporáneos e inmediatos sucesores; el hecho está probado sin lugar a dudas, pues un discípulo de Aristóteles, Eudemo de Ro­das, consideró ineludible deber eternizar el recuerdo de quienes los habían efectuado; en consecuencia, han transcurrido casi vein­ticinco siglos desde que se escribieron las primeras páginas de una rama especial del conocimiento: la historia de las matemáti­cas. Pero tanto de la obra de Eudemo como de la mayoría de escritos subsiguientes, se ha perdido incluso el recuerdo. Durante siglos y siglos las noticias en torno a quie­nes se consagran a las ciencias exactas son escasas y fragmentarias y se reducen a in­formaciones biográficas y bibliográficas de discutible valor. Mas, por lo visto, la uti­lidad de trabajos orgánicos y completos so­bre el tema era sentida por todo el mundo. Lo prueba una carta dirigida a Nicoló Bernouilli por un gentilhombre francés, P. R. de Montmort (1678-1719), en la cual, a propósito de las matemáticas, se leen es­tas significativas palabras: « ¡Qué placer no se experimentaría viendo el ligamen, la co­nexión de los métodos, la concatenación de las diversas teorías, empezando en los tiem­pos más antiguos hasta los nuestros, en que dicha ciencia ha adquirido un nivel tan elevado! Me parece que una obra como esa podría ser en cierto modo la historia del espíritu humano».

G. Loria

*  A dicha tácita exhortación de emprender ese trabajo no permaneció insensible un científico francés, Jean-Étienne Montucla (1725-1799), quien, en una monografía so­bre la cuadratura del círculo, había dado un ensayo de sus aptitudes de investigación histórica y en 1758 dio a la imprenta dos volúmenes de una Histoire des mathématiques; tuvo un éxito tan rotundo que muy pronto hubo que preparar una nueva edi­ción, que fue publicada en cuatro volúme­nes por los años 1799 (VII) y 1802 (X). Debido a la muerte del autor, la publicación fue dirigida por el astrónomo J. Lalande. El tercer y el cuarto volúmenes, antes del frontispicio llevan los retratos de Montucla y de Lalande. El título de la segunda edi­ción es Histoire des mathématiques, dans laquelle on rend compte de leurs progrès dépuis leur origine jusqu’à nos jours; où l’on expose le tableau et le développement des principales découvertes dans toutes les parties des Mathématiques, les contestations qui se sont élevées entre les mathématiciens, et les principaux faits de la vie des plus célèbres. Nouvelle édition, considérablement augmentée, et prolongée jusque vers l’époque actuelle; par Jean-Étienne Montucla, de l’institut national de France, a Paris chez Henri Agasse, libraire, rue des Poitevins, 18. An VII.

Corresponde a Mon­tucla, con pleno derecho, el mérito de ser considerado como el fundador de la historia de las matemáticas, y si por el desarrollo de los estudios históricos y por la crítica de las fuentes otras obras posteriores pue­den competir con la suya en exactitud y totalidad de noticias así como por las de­ficiencias siempre inevitables en dichas in­vestigaciones, ninguna por ahora la iguala por la amplitud de la materia tratada, que comprende muchas aplicaciones de las ma­temáticas, por la objetividad y serenidad de los juicios, por la elegancia del estilo y sobre todo por el elevado concepto de la función educadora de la historia del espí­ritu humano. En el prólogo, además del plan de la obra y de la intención educativa, se citan las fuentes, terminando con una reflexión relativa al interés que dichas cien­cias deben suscitar en un espíritu filosófico. El primer volumen está dividido en tres partes. La primera parte contiene la historia de las matemáticas hasta la destrucción del Imperio griego y está subdividida en cinco libros, a cada uno de los cuales precede un sumario de los principales temas desarro­llados. El primer libro, en un discurso pre­liminar sobre la naturaleza, las subdivisio­nes y la utilidad de las matemáticas, se ex­tiende sobre el valor de las diversas es­cuelas filosóficas, en especial griegas. Los otros tres libros exponen el desarrollo de estas ciencias entre egipcios y caldeos, hin­dúes, griegos y fenicios; el tercero está dedicado a las escuelas griegas hasta la ale­jandrina; el cuarto desde ésta a la era cris­tiana, y el quinto va hasta la caída del Im­perio griego, es decir, la decadencia de los estudios matemáticos.

La segunda parte está dividida en cuatro libros. El primero se refiere a los diversos pueblos orientales, árabes, persas y turcos, con un índice alfa­bético de autores árabes y de sus obras más notables; el segundo se refiere a los judíos antiguos y a los que después de la era cristiana cultivaron las matemáticas, con un índice de los principales escritores y de sus obras. Los demás libros se refieren a los italianos, siameses, malgaches y chinos, con una noticia sobre varias obras, ya de chinos, ya de misioneros jesuitas estable­cidos en Pekín. La tercera parte contiene la historia de las ciencias matemáticas en­tre los latinos y los occidentales hasta prin­cipios del siglo XVII, y está dividida en cinco libros. El primer volumen termina con un suplemento al libro IV sobre la historia de la gnomónica antigua y moderna y con una nota sobre el fenómeno de la retro- gradación de la sombra en un cuadrante solar. El segundo volumen comprende la cuarta parte y está dividido en nueve li­bros. Los dos primeros exponen el desarro­llo de la geometría y del análisis en el si­glo XVII; el tercero contiene la historia de la mecánica hasta mediados del siglo XVII; el cuarto estudia la historia de la óptica hasta la misma época; el quinto, la astro­nomía en el siglo XVII; el sexto, la geome­tría y el análisis en la segunda mitad del siglo XVII; el séptimo trata de la mecánica en la segunda mitad del siglo XVII; el octavo, de la óptica, y el noveno, de la astronomía en el mismo período. El segundo volumen de esta famosa obra termina con un suplemento sobre la historia de la nave­gación hasta principios del siglo XVIII y con un índice alfabético, en verdad no muy exhaustivo, de los nombres y los temas con­tenidos en los dos primeros volúmenes.

El tercer volumen, completado y publicado por Lalande, está fechado en el año X (mayo 1802) y comprende la parte V, dividida en 4 libros. Fue publicado después del cuarto volumen y es mucho más extenso. En el prólogo, Lalande recuerda los acontecimien­tos políticos que retrasaron e hicieron di­fícil su obra de continuador y las modifica­ciones y adiciones que ha tenido que hacer al manuscrito de Montucla, advirtiendo que a partir del tercer libró ha abandonado el resumen que Montucla hacía preceder a cada libro. Este tercer volumen, que se re­fiere al siglo XVIII, está dividido en cuatro libros y contiene: en el primero, geometría y análisis; en el segundo, la óptica; en el tercero, la mecánica teórica; en el cuarto, la mecánica aplicada a las máquinas. El cuarto volumen continúa la parte quinta y comprende los libros del V al IX, de los que el V, el VI y el VII tratan de astro­nomía; el VIII, de los progresos de la na­vegación, de la construcción de los navíos y del pilotaje. El volumen termina con seis suplementos: sobre el cabrestante para el áncora, sobre la historia de la geografía, sobre la historia de la cuadratura del círcu­lo, sobre la historia de la música, sobre los sentimientos atribuidos a los filósofos antiguos, sobre el cálculo de las derivadas, y termina con un breve discurso sobre la vida y las obras de Montucla y con un ín­dice alfabético, también poco exhaustivo, de los nombres contenidos en los dos últi­mos volúmenes.

P. Pagnini

*  La imparcialidad histórica nos obliga a destacar que, antes de Montucla, un teólogo alemán, profesor de Matemáticas, Johann Christoph Heilbronner (1706-1747), se sintió tentado a escribir una historia de las ma­temáticas, y presumiendo que bastarían para ello sus propias fuerzas, publicó un grueso volumen (casi 1.000 páginas en 4.°) con el poco modesto título de Historia maúleseos universae a mundo condito ad se- culum P. C. N. XVI praecipuorum mathematicorum vitas, dogmata, scripta et manuscripta, accedit recensio elementorum, compendiorum et operum mathematicorum (Leipzig, 1742). Recurriendo a la fantasía en lugar de basarse en documentos históri­cos, el autor creyó que podía dar informa­ciones de los matemáticos que vivieron des­de Adán hasta el siglo XVI. Es inútil buscar allí informaciones dignas de fe sobre sus vidas u obras; pero como puede afirmarse que no existe obra de erudición de la que no se pueda extraer alguna noticia útil, ad­virtamos que en la de Heilbronner hemos encontrado informaciones sobre la existen­cia de manuscritos de obras importantes conservadas en las principales bibliotecas de Europa.

G. Loria

*  Mientras la Histoire des mathématiques de Montucla era escrita, revisada y publi­cada dos veces, un profesor de la Univer­sidad de Gotinga, ya conocido favorable­mente en su patria, Abraham Gotthelf Kástner (1712-1800), se dedicaba a un trabajo similar: La Historia de las matemáticas [Geschichte der Mathematik, seit der Wiederherstellung der Wissenschaften bis an das Ende des achtzehnten Jahrhunderts. I Bd. Arithmetik, Algebra, Elementar-Geometrie, Trigonometrie, Praktische Geometrie (Gotinga, 1795). II Bd. (id, 1797, Perspektive, geometrische Analyse und hóhere Geometrie, Mechanik, Optik, Astronomie (erster Zeitraum). III Bd. (id., 1799), Reine Mathematik, Analyse, Praktische Geometrie bis an Cartesius. IV Bd. (id., 1800), Mecha­nik, Optik, Astronomie zweiter Zeitraum). Como dice el título, esta obra, igual que su semejante francesa, tiene como programa la totalidad de las disciplinas, puras y apli­cadas; al juzgarla en conjunto es preciso tener en cuenta que quedó incompleta por la muerte del autor. Más que un verdadero historiador se manifiesta como matemático y bibliófilo: se muestra bajo el primer as­pecto cuando se deja arrastrar por cálculos dotados exclusivamente de un interés doc­trinal; bajo el segundo, cuando se entretie­ne en minuciosas descripciones de ediciones raras. Su indiscutible mérito radica, pues, en su conciencia profesional. Desde las primeras páginas de su obra explica que no basta al historiador hojear una obra, sino que, para juzgarla, debe haberla estudiado antes a fondo; y añade que, en los raros casos en que no es posible examinarla, ha de recurrir a testimonios de indudable con­fianza, citados exactamente. Por haber sen­tado, con la palabra y el ejemplo, estas sa­bias máximas, corresponde a Kástner el lugar de honor entre los defensores del ri­gor en las investigaciones de historia de las matemáticas. Es, además, mérito suyo haber ofrecido gran cantidad de informaciones exactas y en gran parte desconocidas; sólo es lamentable que la carencia de índice haga difícil la búsqueda.

G. Loria

*  Las obras de Montucla y de Kástner, además de dar a conocer gran cantidad de importantes noticias sobre cosas y personas, pusieron en evidencia las innumerables la­gunas que su conjunto presentaba; y no hay duda que esta comprobación influyó en el espíritu crítico que surgió en los enci­clopedistas franceses y se desarrolló de modo maravilloso con el sol ardiente de la Revolución francesa; al mismo tiempo, el método histórico, que se iba constitu­yendo y difundiendo, imponía la obligación de investigaciones rigurosamente fiscaliza­das, despertando así la aspiración de trans­formar la historia de las matemáticas en una nueva ciencia exacta. Durante el si­glo XIX las investigaciones que interesaban directa o indirectamente la historia de las ciencias exactas fueron numerosísimas y algunas tan importantes que pueden declararse decisivas; las investigaciones filológi­cas, críticas e históricas sobre el mundo griego pusieron en manos de los estudiosos ediciones plenamente satisfactorias de las obras clásicas; de los asiriobabilonios y de los egipcios, de los indios y de los árabes, se descifraron documentos de la mayor im­portancia, y así se pudo medir la influen­cia que estos pueblos ejercieron en el pen­samiento matemático europeo; se consiguió incluso conocer algo de las matemáticas de los chinos y japoneses. Además, el método histórico, creado durante el siglo XIX, ejer­ció una influencia muy saludable sobre la historia de las matemáticas, de modo que ésta alcanzó el nivel de una ciencia exacta; ello condujo a reconstruir desde el prin­cipio capítulos enteros de Montucla. Debía, pues, considerarse concluso el reinado de este autor, y se consideró la necesidad de instaurar una nueva monarquía o, para sa­lir de la metáfora, de componer una nueva obra que se aprovechase de los resultados obtenidos gracias a aquellos extensos tra­bajos y fijase el punto de donde había que partir para nuevas conquistas. A este res­pecto es necesario tener presente que, du­rante el siglo pasado, el significado del vo­cablo «matemáticas» se restringió mucho y acabó uniéndose sólo a la aritmética y la geometría en sus numerosísimas ramas.

G. Loria

*  Entre las obras que predominaron en Europa y que merecen ser mencionadas aquí, la primera es el Essai sur l’histoire générale des mathématiques del abate fran­cés Charles Bossut (1730-1814), publicada en París en dos volúmenes (1.^a ed., 1802; 2.^a ed., 1810). El ensayo es el desarrollo de un artículo destinado al Dictionnaire des sciences mathématiques y se resiente de su ori­gen; debió su éxito a ser, cuando apareció, la única obra del género de dimensiones modestas. Es mucho más apreciable en las traducciones al italiano de G. Fontana (4 vols., Milán, 1802), al inglés de Bonnystle (Londres, 1803) y al alemán de N. Th. Reimer (Hamburgo, 1806).

G. Loria

*  Siguió la Histoire des sciences mathéma­tiques en Italie, depuis la renaissance des lettres jusqu’à la fin du XVII^e siècle, obra del matemático italiano Guglielmo Icilio Timoleone Libri (1803-1869), en 4 vols., pu­blicada en París, donde el autor estaba desterrado, en 1838-41. Si es relativamente fácil pronunciar un juicio sobre el valor de una obra científica pasado más de un siglo de su publicación, con respecto a ésta la cosa presenta graves dificultades (aun pres­cindiendo del hecho de que se trata de un trabajo incompleto), porque muchos no con­siguen olvidar las circunstancias personales del autor, juzgado por algunos con com­pasiva indulgencia y por otros con despia­dado rigor. Pero si se consigue vencer am­bos sentimientos, se llega a reconocer que la obra, aunque con imperfecciones (¿qué obra humana no las tiene?), es una de las más conspicuas entre las relativas a la his­toria de las ciencias positivas. El programa desarrollado por ella es más amplio de lo que anuncia el título, hasta el punto de que, una vez leído, se está tentado de borrar de su título el calificativo «mathématiques», puesto que abraza todas las ciencias donde interviene en cualquier sentido el cálculo, la observación o la experiencia, hasta al­canzar y algunas veces comprender la Me­dicina.

Además, el autor — que disponía de una cultura que pudiera llamarse ilimita­da — considera las ciencias como parte in­tegrante de la cultura de un pueblo y no extrañas a lo que constituye su historia, entendida esta palabra en su sentido más amplio; es superfluo destacar que, durante este último siglo, y por efecto de la cre­ciente especialización, ambos criterios di­rectrices fueron abandonados por los escri­tores de la materia. Hay que tener además presente que sólo durante el siglo posterior a Libri se desarrolló el «método histórico», a cuya aplicación se debió la constitución y el desarrollo de una literatura propia­mente dicha sobre la «historia de las cien­cias»; pero diríase que Libri merece el tí­tulo de precursor gracias a la declaración hecha por él de basarse exclusivamente en las fuentes y, en caso de imposibilidad, en textos dignos de indiscutible confianza, y nadie ignora que éste es uno de los puntos fundamentales del método histórico. Pese a sus eminentes dotes, es preciso reconocer que la obra de Libri sufrió un rápido en­vejecimiento debido a las numerosas con­tribuciones que posteriormente se hicieron a la historia de las matemáticas; publicáronse muchas obras de grandes pensadores hasta entonces inéditas, mientras ellos y sus trabajos fueron objeto de excelentes trabajos críticos debidos a especialistas de gran fama e incluso a científicos. Hay que tener presente estas circunstancias para no incurrir en críticas injustas. Piénsese, por ejemplo, que Leonardo Fibonacci es cono­cido en su totalidad sólo después de la edi­ción completa de sus obras debida a Boncompagni, por lo que no es extraño que Libri lamente la pérdida del Liber quadratorum, hoy impreso.

Del mismo modo, Leo­nardo da Vinci empezó sólo en el presente siglo a ser conocido como gran cultivador de las ciencias. Y si respecto a algunos de­talles biográficos y doctrinales concernien­tes a Galileo no es posible estar de acuerdo con nuestro autor, es preciso tener en cuen­ta que hasta ahora no estamos en posesión de su correspondencia completa y del in­forme auténtico del famoso proceso. Y los ejemplos podrían continuarse. Añadamos algún dato relativo al plan general de la obra que examinamos. El vol. I consta de un «Discurso preliminar» en el que se des­criben las vicisitudes de la cultura en Eu­ropa y en Oriente, a partir de los orígenes hasta el renacimiento de las letras y de las artes (respecto a las contribuciones más o menos auténticas sobre China, téngase en cuenta la circunstancia de que hasta hace muy poco no fue iniciada la revisión del juicio demasiado favorable pronunciado en el pasado). El libro I (II vol.) parte de Carlomagno y de los escritos de Leonardo Fibonacci (anterior a Dante) y prosigue enumerando los trabajos efectuados en Ita­lia tanto en el campo científico como (esta­mos en el período humanístico) en el em­peño de volver a hacer accesibles las fuen­tes griegas y latinas. Toda la primera parte del II libro (III vol.) está dedicada a Leo­nardo da Vinci; se pasa luego — después de unas consideraciones sobre Cristóbal Co­lón— al período áureo del álgebra italiana, cuando, gracias a Luca Pacioli, Scipione Ferro, Nicoló Tartaglia y Gerolamo Carda- no, la resolución de las ecuaciones mate­máticas llega al límite extremo que es po­sible alcanzar sin invadir el campo de lo trascendente: en consecuencia, a mediados del siglo XVI el cetro de la cultura pasa de las artes a las ciencias.

Libri se ocupa de los más distinguidos matemáticos del tiem­po al principio del libro III (vol. IV), para pasar luego a Galileo. El autor destaca su inmenso valor intrínseco y en relación con Francisco Bacon; es extraño, sin embargo, que no haga mención del otro Bacon (Ro­ger), que vivió tres siglos antes y es in­discutible predecesor de Galileo. Aquí la obra se detiene no por voluntad del autor, sino por las dolorosas vicisitudes de su atribulada vida; dicha interrupción nunca será bastante lamentada, entre otras cosas porque pretendía hacer de toda la obra una traducción italiana revisada y completada, aprovechando las eventuales críticas que se le hicieron en público y en privado. Para una exacta valorización de la obra de Libri hay que hacer mención de las numerosas notas (79), que ocupan casi la mitad de ella y que le aseguran un valor perenne, pues contienen preciosas ilustraciones al texto, sacadas de documentos raros y a ve­ces desconocidos. Puesto que el espacio de que disponemos no nos permite dar la se­lección completa de los temas tratados, nos limitamos a citar algunos, entre ellos las veintiuna notas dedicadas a Leonardo da Vinci, la indicación de la correspondencia de Percise como preciosa fuente de noti­cias sobre la época galileana y las numero­sas informaciones sobre traducciones latinas de obras árabes. En estas notas, Libri entra en detalles técnicos interesantes, como re­plicando a la crítica que le fue dirigida de que en el texto de sus volúmenes «dedi­cados a la historia de las matemáticas» no se encuentra ni una fórmula ni una figura. Sobre el otro reproche de que, insistiendo excesivamente sobre los méritos de los ita­lianos, aunque sea involuntariamente, con­tribuyó a obscurecer los de los extranjeros, es difícil llegar a una completa absolución para quien recuerde su constante actitud negativa respecto al gran matemático fran­cés F. Viète.

G. Loria

*  También es digna de recuerdo la His­toire des Mathématiques depuis leurs ori­gines jusqu’au commencement du dix-neuvième sièçle del químico francés de origen alemán Jean – Chrétien – Ferdinand Hoefer (1811-1878), publicada en Paris en 1874. Co­mo sus demás obras de divulgación cien­tífica, entre las que recordamos: Histoire de la chimie (1842-43), Histoire de la physique et de la chimie, depuis les temps les plus reculés (1872), Histoire de la botanique, de la minéralogie et de la géologie (1872), Histoire de la zoologie (1873), etc., también este volumen está escrito en forma bastante sencilla y llana y puede constituir una buena fuente para una primera y elemental orientación en la materia. Después de una introducción sobre el origen de las mate­máticas entre los chinos, los indios, los babilonios, los fenicios, los judíos y los egipcios, pasa a un largo tratado de la his­toria de las matemáticas entre los griegos. Hay que alabar el método de Hoefer, que para cada autor citado reproduce los pa­sajes y teoremas más característicos. Más bien precipitado es el tratado de los perío­dos bizantino y árabe, y la exposición de la renovación del álgebra y de la geometría en Italia en los siglos XIII-XIV-XV. Mayor desarrollo se da a los tiempos modernos; pero la obra de los algebristas italianos del siglo XVI no está bastante destacada. Tam­bién la parte relativa al siglo XVIII es algo insuficiente, dado el grandioso desarrollo que en dicha época recibió la ciencia. Sea como sea, y también respecto a los mo­dernos, la presente obra contiene buenas y numerosas informaciones y aun sin presen­tar méritos extraordinarios de originalidad, resulta francamente recomendable por la agilidad de la vulgarización y la elegancia del estilo.

A. Procissi

*  De más amplias proporciones es la His­toria de las matemáticas [Geschichte der mathematischen Wissenschafte; I Th., Von den áltesten Zeiten, bis Ende des XVI. Jahrhunderts (II ed., Zurich, 1873); II Th., Vom Anfange des XVII, bis an das XVIII Jahrhunderts (id., 1875)] del suizo Hermann Suter. Igual que la de Hoefer, es una obra en la que se refleja una época ya pericli­tada. Hankeln le dirigió graves críticas, es­pecialmente respecto a los capítulos sobre griegos y árabes.

G. Loria

*  Hay que recordar igualmente la Historia de las matemáticas de la Antigüedad hasta la Edad Media [Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter] del ale­mán Hermán Hankel (1839-1873), impresa en Leipzig en 1874. No es una obra orgánica, porque resulta de una serie de excelentes artículos sobre la historia de las matemáti­cas puras que, después de la muerte del autor, fueron recogidos y publicados por su padre. Dignos de especial mención son los relativos a los griegos y los árabes.

G. Loria

*  En 1880 apareció el primer volumen de la importantísima Historia de las matemá­ticas (v. Lecciones sobre la historia de las matemáticas) de Moritz Cantor (1829-1920). La benéfica influencia ejercida por esta obra sobre la historia de las ciencias en general y en particular de las matemáticas, puede comprobarse con la intensificación de los estudios correspondientes que fue fo­mentada por la aparición en dicho tiempo, y no sólo en Europa, de revistas especiali­zadas. Se escribieron entonces numerosas y meritorias monografías sobre los más eminentes matemáticos antiguos y moder­nos, y respecto a los primeros se contó con la colaboración de filólogos (helenistas y orientalistas); al mismo tiempo, sus obras fueron analizadas con arreglo a las normas del método histórico. Científicos eminentes no desdeñaron ocuparse en comentar los descubrimientos de sus predecesores. En este fervor de investigación, mientras por un lado se ofrecían a los estudiosos nuevos y poderosos medios de investigación, crecieron también las exigencias del público ante los autores. Si no podemos extendernos en una reseña completa de lo conseguido, debemos al menos, para terminar, hacer mención sucinta de las obras de carácter general que aparecieron en el período que puede llamarse con razón posteantoriano.

G. Loria

*  Una de las obras más conocidas de este período es la Histoire des sciences mathématiques et physiques del francés Maximilien Marie (1819-1891), publicada en París en doce volúmenes, de 1883 a 1888. Re­presenta una vuelta al amplio programa Montucla-Kástner, pues el autor quiere abrazar tanto las matemáticas en sus diver­sas ramas como la física (al menos en su plan primitivo); de ahí su desigual valor. Si la parte referente a la Antigüedad fue objeto de críticas bien justificadas, el asi­duo estudio hecho por el autor sobre las obras posteriores al Renacimiento le per­mitió dar noticias generalmente poco co­nocidas y hacer observaciones que no ca­recen de valor; un invencible rencor per­sonal le llevó a juicios injustos sobre Cauchy. Está dispuesta en orden cronológico de autores y tiene un valor más biográfico que criticohistórico según el desarrollo de las diversas ciencias. Al final de cada vo­lumen hay un índice alfabético de nombres, y otro índice general al final del duodécimo.

Esta historia, aunque poco profunda, tiene sobre las de Montucla y de Cantor la ven­taja de ser algo más moderna. El plan dado a la obra, si es un obstáculo para una sín­tesis del desarrollo de las ciencias y para un análisis comparativo, pone más en evi­dencia la contribución de cada científico en particular y facilita la investigación del estudioso. La sucesión cronológica es la siguiente: vol. I, griegos y romanos; II, Edad Media, árabes, indios, etc., y europeos hasta el siglo XVI; III y IV, siglo XVII. Con el vol. V se inicia el undécimo período que señala el mayor incremento de las ciencias matemáticas después del período helénico y que el autor trata en los volúmenes V, VI y VII, desde el nacimiento de Newton (1547) hasta el de Euler (1707); el vol. VII se inicia con la conocida discusión entre Newton y Leibniz sobre la precedencia en la invención del cálculo infinitesimal; en este volumen termina el undécimo período y se inicia el duodécimo, que Marie limita del nacimiento de Euler (1707) al de Lagrange (1736); en el vol. IX considera el resto del duodécimo e inicia el trigésimo período, de 1736 a 1768, con Laplace; en el volumen X termina el trigésimo y des­arrolla el decimocuarto, de 1749 a 1768, con Fourier; en el vol. XI desarrolla el décimo- quinto, de 1768 al nacimiento de Arago (1780), y el decimosexto, de Arago a Abel (nacido en 1802); en el vol. XII termina el período decimosexto, que acaba a mediados del siglo XIX. Pero tal división en períodos no nos parece que tenga razones intrínsecas suficientes, con excepción del undécimo, con la invención del cálculo infinitesimal, y del último que, para las ciencias físicas, señala una nueva era con los descubrimien­tos sobre la electricidad y las teorías del calor.

P. Fagnini

*  Obra elemental, grata al público por su acertado método de exposición, es la Breve historia de las matemáticas [A Short History of Mathematics] de Walter Wilhelm Rouse Ball, aparecida en Londres en 1887 (4.^a ed., 1908).

G. Loria

*  Una sucinta exposición de los elemen­tos de la geometría en la Antigüedad y en la Edad Media son también los Elemen­tos de historia de las matemáticas [Forelearning over matematikers Historie. Oltide and middelalder] de Hieronymus Georg Zeuthen (1839-1920), aparecida en Copen­hague en 1893 (existen traducciones en francés y en alemán). Se presta mayor atención a los hechos que a las personas; gracias a las consideraciones metodológicas de que está llena, resulta extremadamente útil para la enseñanza. Del mismo autor es también la Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert (Leipzig, 1903). Fruto de profundos estudios sobre las obras originales, se distingue por la neta separa­ción del elemento biográfico de las conside­raciones francamente científicas, con deci­dida preponderancia de éstas; es una obra escrita por un eminente matemático para matemáticos.

G. Loria

*  La Geschichte der Mathematik in synthetischer Darstellung (Leipzig, 1.^a ed. en dos vols., 1902-1903; Berlín. 2.^a ed., 1930, en cinco vols.) de J. Tropfke, más que una verdadera historia, es una colección de monografías históricas sobre los diversos temas que constituyen el programa de la enseñanza secundaria. Sin «embargo, como está amplia y concienzudamente documen­tada, puede servir como obra de consulta.

G. Loria

*  En América son particularmente conoci­das: A History of Mathematics (2.^a ed., Nueva York, 1919) de Florian Cajeri, y la History of Mathematics [vol. I, General Survey of the History of Elementar Mathe­matics; vol. II, Specials Topics of elementary Mathematics (Boston, 1923)] de David Eugen Smith. Esta obra se diferencia de sus similares por tres motivos principales. En primer lugar por el plan general, pues en el vol. I, como se declara en el título, se lee una sucinta exposición de las matemáticas puras y elementales desde sus orí­genes hasta 1850, que termina con un índice cronológico de los descubrimientos más importantes; el II consta de monografías sobre los siguientes temas: I, Evolución de la aritmética; II, Logística de los números reales; III, Auxiliares mecánicos para los cálculos aritméticos; IV, Números artificia­les (fraccionarios, negativos, irracionales); V, Geometría; VI, Álgebra; VII, Problemas elementales; VIII, Trigonometría; IX, Pesos y medidas; X, Cálculos superiores. La se­gunda característica, que revela que la obra está destinada a la enseñanza, es la pre­sencia, al final de cada párrafo, de proble­mas históricos que proponer a los estudian­tes. Finalmente — también a diferencia de las obras análogas —, ambos volúmenes es­tán ampliamente ilustrados con reproduccio­nes de retratos de eminentes matemáticos, facsímiles de sus manuscritos y frontispi­cios de obras justamente famosas.

G. Loria

*  Una importancia mucho mayor posee el Curso sobre el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX [Vorlesungen über die Entwickelung der Mathematik im 19. Jahrhun­dert] de Felix Klein (1849-1925), publicado en Berlín en 1926. Esta obra deriva de apun­tes tomados por los estudiantes en las lec­ciones pronunciadas por el célebre autor durante los años de la primera guerra mun­dial; la importancia poco común de la misma proviene en gran parte de las con­sideraciones originales sugeridas por el exa­men comparativo y retrospectivo de inves­tigaciones, en algunas de las cuales él tam­bién intervino; la muerte del autor dejó interrumpida la publicación. En gracia a la claridad, enumeramos los títulos de los capítulos que componen el volumen: I. Gauss; II. Francia y la École polytechnique, a principios del siglo XIX; III. La fundación (1826) del «Journal des mathématiques pures et appliquées», de Crelle, y el florecimiento de las matemáticas puras en alemania; IV. Desarrollo de la geome­tría algebraica después de Möbius, Plücker y Steiner; V. La mecánica y la física ma­temática en alemania y en Inglaterra has­ta 1880 aproximadamente; VI. La teoría general de las funciones, de las variables complejas en Riemann y Weierstrass; VII. Estudio profundizado de la esencia de las funciones algebraicas; VIII. Teoría de los grupos y particular estudio de las funcio­nes holomorfas.

G. Loria

*  La bibliografía de la historia de las ma­temáticas ha alcanzado tal extensión que consideramos inútil toda tentativa de es­bozar un cuadro completo. Permítasenos terminar esta rápida y sumaria reseña ci­tando algunas obras de sumo interés: Histoire des sciences mathématiques (1924), de Humbert y Andoyer; Les grands mathématiciens (1939), de E. T. Bell; Storia delle matematiche (1933), de Gino Loria; Les Ma­thématiques en Grèce au IV^e siècle (1935), por A. Rey; Geschichte der Mathematik, de H. Wieleitner, traducida al castellano con el título de Historia de la Matemática (Barcelona, 1928).

G. Loria

[Historia das lutas com os Holandeses no Brazil]. Obra del historiador brasileño Francisco Adolpho Varnhagen (1816-1857), publicada en Viena el año 1871, y en Lisboa en 1872. La historia, en su título, señala entre pa­réntesis las fechas 1624-1654, pero se ex­tiende hasta 1662. Por la sucesión crono­lógica de los hechos expuestos, es la se­gunda de las tres grandes obras históricas del autor, después de la Historia General del Brasil (v.) y antes de la Historia de la Independencia (v.). Está dividida en diez libros y reconstruye la larga guerra entre portugueses y holandeses en el Brasil, consecuencia de la ocupación de Portugal por los españoles (1580-1640).

El autor expone ordenadamente los hechos desde las pri­meras hostilidades contra Bahía (1624) hasta la paz definitiva (1662), ilustrando los acontecimientos con escrupulosa y abundan­tísima documentación, parcialmente inédita, y explicando sus motivos en una metódica evolución lógica, según un severo método historiográfico. Hechos y circunstancias que en los cronistas de la época (Duarte de Albuquerque, Gaspar van Baerle, etc.) habían quedado borrosos o desfigurados por parcialismos, quedan definitivamente aclarados; consideraciones de valor general encuadran los acontecimientos. Al comenzar la narra­ción se destaca lo que el autor juzga como error inicial del Brasil: el haber considera­do la anexión\de Portugal por Felipe II de España como un «don providencial» y altamente beneficioso para el Brasil, con la ilusión de que eliminados los confines en­tre las colonias portuguesa y española (tratado de Tordesillas), el Brasil viera faci­litada su vida comercial. El autor sigue los complicados manejos de la diplomacia en los diversos países interesados en el inter­minable conflicto, hasta la intervención in­glesa para poner término a las hostilida­des, las cuales prosiguieron todavía por más de 20 años después de la restauración de la independencia portuguesa, a causa de los intereses que se hallaban en juego.

Más que en las otras dos historias, lo anec­dótico y pintoresco dan vida a la narración del autor, que anima frecuentemente la exposición de manera insólita en él, como en las páginas dedicadas a los héroes que se convirtieron en símbolos de la resisten­cia en el país: el blanco Vidal de Negreiros, el indio Felipe Camarao, el negro Enrique Dias; y en los pasajes referentes a los alti­bajos de la política militar y administrati­va del famoso gobernador holandés conde de Nassau y sobre el astuto juego de la diplomacia holandesa, preocupada en pro­longar lo más posible el dominio directo o comercial sobre las posesiones portuguesas, cuando era ya difícil justificar una cam­paña bélica.

G. C. Rossi

[Histoire des institutions politiques de l’ancienne France]. Obra de Numa-Denis Fustel de Coulanges (1830-1889). Concebida como una historia sintética que debía llegar has­ta la Revolución francesa, se detuvo a fi­nes del Imperio carolingio, enriqueciéndose, en cambio, con estudios particulares y con una riquísima documentación, y apareció en gran parte después de su muerte, en la publicación dirigida por C. Jullian. La pri­mera parte, publicada en 1874 y ampliada en una sucesiva edición en tres volúmenes, trata de la Galia romana, de la invasión germánica y de la monarquía franca; otros tres volúmenes (1889-1892), estudian la pro­piedad rural en la época merovingia, los orígenes del sistema feudal y la monarquía carolingia. Según el autor, la invasión ger­mánica no trajo consecuencia alguna ni sobre la lengua, ni sobre la religión, ni so­bre las costumbres, ni sobre el derecho de la Galia romana. Las transformaciones so­ciales de ésta en la transición de la edad romana a la Edad Media representan un desarrollo natural de las instituciones pre­existentes o son debidas al desorden ori­ginado por la penetración bárbara. El Es­tado merovingio tiene como continuación el Bajo Imperio: los francos no fundaron un nuevo régimen ni se impusieron como raza conquistadora.

El mismo régimen feu­dal existía ya en germen. El «beneficio», el «patronato» y la «inmunidad», las tres ins­tituciones de las que deriva el feudalismo, corresponden respectivamente al «precarium» romano (concesión precaria de la tierra), al patronato, ampliamente extendido en la sociedad romana, y al progresivo desvincularse de los grandes propietarios de la au­toridad central debilitada. El régimen eco­nómico feudal se halla, por consiguiente, perfilado ya en el siglo VII. Sucesivamente, cuando todas las atribuciones de los fun­cionarios estatales pasan a los grandes pro­pietarios, éstos se convierten también en jefes militares, y el vasallaje queda con­sagrado como una jerarquía militar. Esta tesis, producida cuando ya se encendían las polémicas entre romanistas y germanistas, causó gran conmoción, y el historiador fue acusado de romanismo y de nacionalismo antigermánico. A estas afirmaciones se opo­nía manifestando que tan sólo había que­rido afirmar que el feudalismo, por una interna necesidad del sistema territorial, hubiera nacido en cualquier país donde se dieran las mismas circunstancias. Sin em­bargo, la Historia de Coulanges constituyó una reacción contra la exaltación contem­poránea de la superioridad racial germá­nica. Su teoría ha permitido corregir muchas exageraciones de la teoría opuesta, pero ofrece a su vez una tesis demasiado excesiva y sistemática, que después de los estudios modernos sólo es aceptada en parte. Lo que no quita que la obra se considere una de las más grandiosas y brillantes de la historiografía francesa, por lo que respecta a la reconstrucción de la época mero­vingia. El estilo del libro mantiene en toda su extensión la cualidad, de sobria y cris­talina nitidez, por la que el autor de La Ciudad antigua (v.) fue comparado a Montesquieu y a Michelet.

P. Onnis

Obra de fray Bartolomé de Las Casas, obispo de Chiapas (1470-1576), comenzada en 1533 des­pués de su regreso a España, y terminada en 1561. La historia, por testamento del au­tor, se mantuvo inédita hasta fines del siglo pasado (1875-76), pero ya había sido uti­lizada por Antonio de Herrera en su His­toria general de las Indias. Está formada por tres libros y comprende los aconteci­mientos registrados entre 1492 y 1520, pero según el propósito del autor debía tener seis libros y extenderse hasta el año 1552. El autor comienza a narrar la historia del descubrimiento con la abundancia de no­ticias y detalles que entraron luego a for­mar parte de la leyenda colombina. Sacando el hilo del ovillo, como dice Las Casas, los españoles se afanaron en devanarlo hasta el fin. Se establecen las primeras colonias en las islas y en el Yucatán, y Ojeda, Juan de la Cosa y Américo Vespucio completa­ron el descubrimiento. Entretanto, el vene­ciano Giovanni Caboto, al servicio de In­glaterra, explora la costa septentrional; Pe­dro Álvarez Cabral toca el Brasil en 1500; Ponce de León descubre la Florida, y Núñez de Balboa, cruzando el istmo de Darien, da vistas al Pacífico (1513). Hernán Cortés desembarca, en 1519, en Méjico e inicia la conquista del Imperio azteca, mientras Ma­gallanes, siguiendo la ruta del Sur, halla el estrecho que pone en comunicación el Atlántico y el Pacífico (1520).

Lo mismo que en la Brevísima relación de la destruc­ción de las Indias (v.), también en esta obra insiste el autor en denunciar la vio­lencia de los conquistadores y exaltar al pueblo conquistado, los indios, «buenos y cariñosos por naturaleza». Por la exactitud de las noticias y por la abundancia de do­cumentos, de muchos de los cuales se han perdido los originales, la obra es una va­liosa fuente para la historia de los descu­brimientos.

C. Capasso

Obra del crítico español Mar­celino Menéndez Pelayo (1856-1912), pu­blicada en cinco volúmenes, de 1883 a 1891, en nueve volúmenes de 1896 a 1912 y en cinco grandes volúmenes en la edición defi­nitiva de las obras completas (Madrid, 1940). En ella el autor traza la historia del gusto estético de su nación, considerando, ade­más de la producción más estrictamente teórica, toda la literatura crítica y precep­tiva y reseñando en cada caso la poética, implícita o explícita, de las obras de arte más importantes. Para ello era necesario al autor seguir al mismo tiempo algunas tradiciones del pensamiento y del gusto que no siempre es posible mantener separadas y que se refieren a la idea de la belleza en sí (metafísica de lo bello), la belleza como expresión artística (filosofía del arte) y el estudio de las aplicaciones concretas (la «técnica», el «estilo», etc.). Por consi­guiente, la obra expone las indagaciones más propiamente especulativas referentes a la belleza y a su idea en los grandes sis­temas filosóficos; sigue el movimiento mís­tico, tan importante en el desenvolvimiento intelectual de España, en el que lo bello y el amor se identifican con el mundo de la fe y de la voluntad; investiga las indi­caciones generales sobre arte que se en­cuentran en los filósofos, pensadores y crí­ticos; aísla y explica cuánto hay de verda­deramente estético en los tratados técnicos (poéticos, retóricos, estilísticos, artísticos, etc.) y, finalmente, considera los principios que inspiraron a los mismos artistas. Su Historia viene a constituir un amplio capí­tulo de la filosofía (v. Historia de los hete­rodoxos españoles; la Ciencia española), y es una preciosa introducción a la historia literaria nacional (v. Historia de la poesía hispanoamericana).

Como España no posee un pensamiento filosófico original y sus ideas estéticas son tributarias de las corrientes europeas, la obra de Menéndez Pelayo, que se ve obligada a remontarse re­petidamente a las fuentes, termina por convertirse en una historia general de la es­tética, única en su género por la amplitud de su alcance y por su directa y vasta in­formación. El autor reconoce con ejemplar modestia «la índole puramente analítica y expositiva» de su trabajo, en el cual ha sabido recoger, respetando las diversas co­rrientes y las opiniones aisladas, una sólida perspectiva histórica: «Hay, pues, una gran parte de esta obra — dice —, casi todo lo anterior a Kant, en que he seguido el mé­todo histórico, único que por su sabia sere­nidad conviene a cosas ya tan lejanas. De allí en adelante, la exposición tiene que to­mar forzosamente carácter más animado y más crítico, y resolverse, al fin, en ideas propias». Lo mismo que todas las obras de Menéndez Pelayo, esta Historia se resiente de una cierta superabundancia y dispersión, pero en ningún momento resulta vana, sur­giendo de su vivo interés de erudito y de bibliófilo. Un equilibrio más armónico entre las partes, el sacrificio de algunas páginas y, posiblemente, incluso de algunos capí­tulos, una mayor concisión en el análisis hubieran contribuido a acrecentar el éxito de la obra y a su difusión en el extranje­ro. La primera parte abarca los orígenes clásicos hasta fines del siglo XV. La am­plitud concedida al pensamiento griego la encuentra justamente indispensable para sentar los fundamentos de toda la estética de la Edad Media y del Renacimiento, que maduró con el idealismo platónico, el rea­lismo aristotélico y el misticismo plotiniano; el examen detenido del pensamiento latino (Cicerón, la Retórica a Erennio, Horacio y los gramáticos, etc.) y cristiano (San Agus­tín, Dionisio el Místico, Santo Tomás) le sirve para señalar las posiciones y procedi­mientos técnicos que habían de dominar durante siglos enteros la literatura.

Preocu­pado, por otra parte, en distinguir la inter­vención que España ha tenido en la elabo­ración del pensamiento estético, el autor dedica una amorosa atención a Séneca y Quintiliano, concediendo una atención par­ticular a Prudencio, San Isidoro de Sevilla y a todo el período visigodo y árabe, que constituye el panorama más seguro de la cultura latina e islámica durante la Edad Media española. Este primer volumen se cierra con el análisis de la estética mística de Raimundo Lulio y del platonismo amoroso del poeta catalán Ausias March. La segunda parte comprende los siglos XVI y XVII, con el advenimiento más explícito de la ideología platónica y de la producción mística y, simultáneamente, con el incre­mento de la poética aristotélica. Son ca­pítulos densos de erudición y de vigor ana­lítico, que descubren zonas de la cultura que habían sido descuidadas, y dan relieve a la formación del gusto «culterano» (Góngora y Gracián), que estaba destinado a trasladar la experiencia estilística de la literatura española al ámbito europeo. El siglo XVIII ocupa la tercera parte: es una investigación laboriosa y casi enojosa. Por primera vez, la literatura erudita y especu­lativa del siglo XVIII y de comienzos del XIX en España, halla una sistematización luminosa y un preciso ajuste en la cultura más general de Europa. Y ésta es, por otra parte, la más elevada ambición crítica del autor y su mérito más verdadero, al lograr incluir los movimientos artísticos y doctri­narios de su nación en la cultura mundial, como solamente él podía lograr, teniendo en cuenta su extraordinario conocimiento de las literaturas antiguas y modernas y la capacidad de realizar amplias síntesis.

En la cuarta parte son objeto de consideración la estética alemana (Kant, los románticos, Hegel; las escuelas realista, positivista, fi­siológica, etc.) y el romanticismo inglés. El quinto y último volumen está dedicado al siglo XIX francés: constituye una obra maestra de información y de crítica que atestigua el amor de Menéndez Pelayo ha­cia la cultura francesa y su firme devoción por la cultura romántica, en la que había formado sus más vivas aptitudes historio- gráficas. Con brevedad perfila la total evo­lución de la sensibilidad francesa, mortifi­cada por un imperante clasicismo y por el excesivo racionalismo («Boileau… elimina definitivamente de la poesía todo el mundo de las cosas misteriosas, difíciles, obscuras, sublimes y tremendas, es decir, el mundo poético por excelencia»), y ahora renovada aparece redimida por la corriente románti­ca, que es una «íntima búsqueda del alma humana». De la sexta parte, que hubiera debido seguir el movimiento romántico en España, no nos queda más que un minu­cioso índice analítico; en cambio, debieron quedar en propósito los volúmenes dedi­cados a la estética posromántica, a la cul­tura italiana, a las doctrinas contemporá­neas y un último y final que habría expues­to su estética personal. Su formación fun­damentalmente romántica y profundamente cristiana, junto con el calor de su rica hu­manidad, llevaba al autor a solidarizarse con las ideas y los pensadores que muestran arrojo y nobleza espirituales, mientras le inspiraba una cierta repugnancia la rigidez de los sistemas estrictamente dialécticos. Por ello, Menéndez Pelayo concede un especial valor a aquellas obras en que podía captar la experiencia intelectual en acción y en su trabajo real, por sobre aquellas en que sentía prevalecer la abs­tracción metafísica y el esquematismo de las fórmulas. Por estos motivos sus reflexio­nes se hallan más de acuerdo con el fragmentarismo francés e inglés que con el sistematismo de la filosofía alemana.

S. Battaglia

Obra capital en lo que concierne a los escritores españoles, presenta incluso en la parte general excelentes estudios sobre temas omitidos ordinariamente en las otras historias. Menéndez se inclina al idealismo meta-físico, pero parece dispuesto a recoger ideas de otros sistemas, incluso de las teo­rías empíricas; la obra adolece, a nuestro parecer, de esta inseguridad crítica. (B. Croce)

Debemos reconocer su agilidad y decisión al penetrar el pensamiento ajeno, su lim­pia y aguda exposición de las doctrinas más diversas, su capacidad para elevarse de gol­pe a las esferas intelectuales más excelsas, y una aspiración fervorosa y siempre viva por lo trascendente, por lo eterno. (A. Farinelli)

El maestro de la crítica sale del sector de una idea en lucha para hermanarse con todos los estudiosos y gustadores de la be­lleza eterna del arte y el pensamiento, sin fronteras ni dogmatismos. (A. Valbuena Prat)