[Werke]. Las obras del matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) abrazan los más diversos cam­pos de la física, de la geometría, de la as­tronomía, etc., y han aparecido en nume­rosas publicaciones editadas en volumen por el autor o en distintas revistas cientí­ficas como la «Monatliche Correspondenz» de Zach, el «Journal» de Crelle, los «Poggendorff’s Annalen», los «Astronomische Nachrichten», etc.

Después de la muerte de Gauss la Sociedad de Ciencias de Gotinga recogió toda la producción del hombre de ciencia en doce volúmenes publicados entre 1870 y 1930. Son también importantes los volúmenes que contienen su corresponden­cia científica con Schumacher (Altona, 1860- 1865), con A. von Humboldt (Leipzig, 1877), con el astrónomo Bessel (id. 1880), con el matemático Bolyai (id. 1899), con H. Olbers (Berlín, 1900-1909) y con C. L. Gerling (id. 1927).

El escrito con el cual Gauss inicia su actividad científica es la Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebricam, etc. (Helmstáds, 1799), en el cual hay la primera demostración rigurosa del teo­rema algebraico que afirma que toda ecua­ción de grado n tiene n raíces. Sigue en orden cronológico la importante obra inti­tulada Disquisitiones arithmeticae (Leipzig, 1801), escrito fundamental en el desarrollo de la teoría de los números de la cual se habían ya ocupado con éxito Fermat, Euler, Lagrange, Legendre y otros.

Pero a Gauss son debidos precisamente el desarrollo y el tratado orgánico de los resultados conse­guidos por sus predecesores, además de nu­merosas e importantes proposiciones que señalan direcciones completamente nuevas. Recordemos entre ellas el célebre criterio de rebajamiento de grado de una ecuación binómica (esto es, que tiene dos términos): si el grado de una ecuación binómica está expresado por un número entero n, es po­sible descomponer aquella ecuación en otras cuyos exponentes son, respectivamen­te, los factores primos del número que pre­cede a n. En la misma obra fijó además el concepto de congruencia (dos o más números se llaman congruos cuando dan restos igua­les si son divididos por un mismo número), y redujo todo el análisis indeterminado al estudio de esas mismas congruencias.

Tam­poco olvida la teoría algebraica de la divi­sión de la circunferencia en n partes iguales, teoría con la cual Gauss puso fin a su escrito, proporcionando las condiciones ne­cesarias y suficientes que deben satisfacer los factores primos de n para que la divi­sión de la circunferencia en n partes igua­les pueda ser efectuada sólo con el uso de la regla y del compás, y ello porque la ecuación a que da lugar el problema es sólo soluble mediante radicales cuadráticos. Importantes por su ingeniosidad y novedad de método son también los cálcu­los a los que Gauss se dedicó inmediatamente después que Piazzi (1801) hubo des­cubierto el primer planetoide, Ceres. Gauss calculó los elementos de la órbita del nue­vo cuerpo celeste, de manera que fue posi­ble observarlo de nuevo en sus sucesivos pasos por el perihelio.

Análogas investiga­ciones fueron hechas por el matemático de Brunswick, cuando, al año siguiente, Olbers descubrió otro planetoide: Palas. Estos trabajos, con otros análogos desarrollados sucesivamente acerca de las perturbaciones de Ceres (1802-1803), de la órbita de Juno (1805) y del segundo cometa del 1805-1806, fueron publicados en la «Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Him­melskunde» dirigida por F. von Zach.

En su Theoria motus corporum coelestium, pu­blicada algunos años después (Hamburgo, 1809), el ilustre matemático enseñó métodos sencillos y más exactos que los conocidos hasta entonces para calcular las órbitas de los diversos planetas, y especialmente de los cometas. Aplicó a estos cálculos una idea del todo innovadora — la llamada de los mínimos cuadrados —, hoy de uso común en astronomía y en ingeniería para la de­ducción de cantidades desconocidas a partir de otras dadas a conocer por la experiencia.

Entre las últimas memorias científicas im­portantes contenidas en las obras de aquel maestro recordaremos las Disquisitiones circa superficies curvas (Gotinga, 1827), que contienen uno de sus más célebres teo­remas: cualquiera que sea la deformación experimentada por una superficie flexible e inextensible, la suma de sus curvaturas principales permanece constante en cada punto de la superficie misma. Recordemos además que Gauss, como resulta de su co­rrespondencia científica con Bolyai padre, Taurinus, Schumacher y otros, se dedicó al estudio de los fundamentos de la geome­tría y mostró claramente la posibilidad de erigir esta ciencia independientemente del célebre postulado quinto de Euclides.

Con estas investigaciones se enlazan las memorias publicadas por él mucho más tarde («Pauca sed matura» era su lema) tituladas über Gegenstände der höheren Geodäsie (1843- 1846), en que se ocupa también del «analysis situs» y de la interpretación geométrica de los números complejos. Entre otras, recorda­remos aquí por lo concreto de sus resulta­dos: Methodus integralium valores, per approximationem inveniendi (Gotinga, 1815); Doctrina de residuis quadraticis (id., 1818); Ejusdem disquisitiones generales circa se- riem infinitorum (id., 1811); Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum (id., 1815); Principia generalia theoricae figurae fluidorum in statu aequüibrii (id., 1830), etc. Otros escritos suyos importantes de física matemática se señalan en las voces Fuerza del magnetismo terrestre y Teoría general del magnetismo terrestre.

U. Forti

Reunimos bajo este título las siguientes publicacio­nes de Federigo Enriques (1871-1946), todas publicadas en Bolonia: Problemas de la ciencia, 1.^a ed., 1906; 2.^a ed., 1910 (trad. alem. de K. Grelling en dos tomos, Leipzig, 1910); Ciencia y racionalismo (1912); Para la historia de la Lógica.

Los principios y el orden de la ciencia en el concepto de los pensadores matemáticos (1922); Historia del pensamiento científico, vol. I: El mundo antiguo (en colaboración con G. de Santillana, 1932); Compendio de historia del pensamiento científico desde la antigüedad hasta los tiempos modernos (1937, en colaboración con G. de Santillana); Las matemáticas en la historia y en la cultura, lecciones publicadas por Attilio Frajese (1938); La teoría del conocimiento cientí­fico desde Kant hasta nuestros días (París, 1938); Causalidad y determinismo en la filosofía y en la historia de la ciencia (Roma, 1945; traducción de un escrito pu­blicado en francés, París, 1941); a estas publicaciones hay que añadir algunas voces de la Enciclopedia Italiana; algunos artícu­los de «Scientia», del «Periodico di Matematiche», de la «Revue de Métaphysique et de Morale», y otros escritos enumerados en la bibliografía de S. Soldati, en «Perio­dico di Matematiche», 1931, págs. 172-186.

También se tendrían que consultar las obras matemáticas publicadas por Enriques y las publicadas bajo su dirección. Véase además el estudio de G. Gentile, en Ensayos crí­ticos, serie 2.^a (Florencia, 1927), págs. 77- 100, a propósito de los Problemas de la ciencia. Un juicio justo y penetrante sobre estas obras es muy difícil, ya que el autor, aunque percibiendo como pocos sabios la exigencia filosófica (también en sus clases de matemáticas se complacía en entrar en el campo de la filosofía), no tenía la nece­saria simpatía para con los filósofos y sus problemas.

A su parecer, Hegel sufría de incapacidad para el raciocinio lógico, y to­dos los filósofos eran más o menos dignos de compasión por haberse extraviado en problemas ilusorios. Era una mentalidad parecida a la de Auguste Comte, al que recordaba con placer. En estas obras quiso reelaborar y hacer crítico el positivismo de Comte. Las ideas fundamentales de su po­sitivismo crítico se encuentran expuestas, casi en forma definitiva, en los Problemas de la ciencia, que son el fruto de un tra­bajo madurado durante el decenio 1890- 1900 y precisado en los cinco años siguientes.

Enriques no admite lo incognoscible, aun admitiendo que muchas cosas, incluso fun­damentales, todavía no se conocen, y plan­teando los problemas filosóficos de manera que su solución sea imposible. A su pare­cer, el Positivismo (v.) corriente concede poco, demasiado poco a la metafísica, pues pretende que la metafísica es ciencia de lo absoluto, más allá de la realidad física, y que este absoluto es incognoscible y vana por tanto la supuesta ciencia que a él se refiere. Hay que sostener, en cambio, que lo absoluto es un símbolo desprovisto de sen­tido, y entonces es inadmisible la metafí­sica, pues carece de un objeto propio.

Sin embargo, la metafísica no se limita a com­binar símbolos desprovistos de significado, referidos a algo trascendental, sino que «trata de representar su objeto por medio de imágenes, que tienen un significado con­creto». El éter, los fluidos y parecidas en­tidades representan imágenes de cosas rea­les. En este sentido una ontología es un modelo subjetivo, cuyos elementos son sa­cados de la realidad y se combinan de modo que expliquen cierto orden de cono­cimientos, según un punto de vista que se considera universal.

La condena de Comte contra los fluidos imaginados por los físi­cos, se justifica en cuanto se pretenda dar a los fluidos el valor de conocimientos obje­tivos; pero estos entes y las teorías respec­tivas, a pesar de su carácter metafísico, tie­nen -valor como representaciones psicoló­gicas en el proceso genético de la ciencia. El átomo, por ejemplo, o mejor dicho el electrón, puesto que se considera indivisible, choca contra unas dificultades quizás insu­perables, y precisamente por esto hay que considerarlo como una hipótesis subjetiva.

Eliminando de un corpúsculo los atributos concretos inherentes a su imagen, se re­duce a un símbolo; de manera que el valor lógico de una teoría depende de la corres­pondencia que es conveniente establecer entre los símbolos que contiene y la reali­dad que se quiere representar. La realidad positiva de una teoría no es más que su capacidad de adaptación a los hechos, de los que da el modelo.

Evidentemente esta posición sí puede contentar al sabio que no se interesa por el problema filosófico pro­piamente dicho, o sea el del último porqué de la realidad, pero no al filósofo. Tampoco se puede sostener que el concepto de abso­luto esté desprovisto de sentido. El filósofo contestará que, por el contrario, es injusti­ficable y absurda esta afirmación, si no por otra cosa, porque cualquier juicio, por nihi­lista que sea, implica la fe en la verdad del juicio mismo. En otros términos, negar lo absoluto significa solamente negar que lo absoluto es uno de los objetos de nuestro pensamiento o algo que está detrás o antes o después de los objetos, admitiendo a la vez el carácter absoluto del pensamiento.

En el fondo, la verdadera exigencia filosó­fica de Enriques es precisamente ésta, que él no llegó a satisfacer y que con frecuencia no hizo más que eludir. Para él lo absoluto no puede ser otra cosa que la ciencia^ en su movimiento inagotable. No alcanzó este punto de vista, que ambicionó con firmeza de ánimo durante toda su vida, ya que no pudo comprender lo que hay de verdaderamente nuevo y vital en Kant, Hegel, Marx, Spaventa, Croce, Gentile, quedando en par­te aprisionado en la antigua metafísica de la que creía haberse liberado para siempre.

La verdad se le presentaba como un pro­ceso de aproximaciones sucesivas; y por tanto acababa por postular, por lo menos implícitamente, como una necesidad lógica, una ciencia exacta o perfecta que estuviera más allá de la ciencia de los hombres, siempre aproximada. Por este motivo aca­baba por caer en un relativismo, que en él asumía un simpático carácter humano. Sig­nificativa es, a este propósito, la conclusión de Ciencia y racionalismo.

Tras decir que el trágico destino del hombre parece ser el de hacer «brotar odio y amor de la misma planta del ideal» y reconocer que el error consiste en establecer la aspiración al Bien en una forma absoluta (es decir, confundir lo particular con lo universal, eterno origen de todos los dogmatismos y fanatismos), Enriques dice: «Si la filosofía no puede terminar prácticamente el con­flicto, señala, sin embargo, el término de éste conforme al ideal de la razón. Quien es consciente de la relatividad del conoci­miento y de la distinción entre lo acertado y lo supuesto, acepta como suposiciones o aspiraciones de verdades todas las creencias.

De aquí una mayor simpatía que se abstiene de coartar las libres imágenes de la fanta­sía creadora, con las cuales todo el mundo embellece su propia vida íntima, estimu­lando las energías de la acción». En este pasaje, que no es ni único ni accidental, se puede ver una tentativa de superación del relativismo mediante el arte. Se trata sin embargo de un concepto más bien vago y oscuro, y no de una razonada fe en el arte como órgano de lo absoluto.

Tampoco la afirmación final del Compendio, de que el Racionalismo y el Historicismo se componen y superan en el concepto histórico de la ciencia, hay que forzarla en sentido idea­lista, ya que Enriques había repetido poco antes que la ciencia es progreso hacia un conocimiento cada vez más amplio y apro­ximado. El autor sintió siempre repugnancia por la dialéctica, en el sentido hegeliano o gentiliano, aunque durante los últimos años recibió estímulos de Gentile. Para él, en el idealismo lo único positivamente fe­cundo es el concepto de la evolución.

El Racionalismo y el Historicismo realizan progresivamente en esta Tierra el reino de los cielos, que para el filósofo no es más que el reino de la Razón. Sería un error considerar estas obras de Enriques como obras de pura filosofía. No hay que olvidar que Federigo Enriques es un matemático original, culto, de visión amplia; y en estos escritos de filosofía e historia de la ciencia dio lo mejor de sí como hombre de ciencia.

S. Timpanaro

[Opere di Ferraris]. Las obras de Galileo Ferraris (1847-1897) las publicó la Asociación Electrotécnica Italiana (Milán, vol. I, 1902, págs. XXIII-492; vol. II, 1903, págs. VI-473; vol. II, 1904, págs. VI- 367, en 4.°).

El primer tomo contiene el retrato del autor (fotograbado Fusetti de fotografía Gibson, Chicago, con reproducción de la firma autógrafa de Galileo Ferraris); un ensayo de Guido Grassi sobre las obras de Galileo Ferraris y los siguientes escritos de éste: «Sobre el empleo de las brúju­las ordinarias en las medidas de las intensi­dades galvánicas» (1871); «Sobre la teoría matemática de la propagación de la electri­cidad en los sólidos homogéneos» (tesis doc­toral del autor, leída en Turín en 1872); «De una demostración del principio de Helmholtz sobre el timbre de los sonidos, sacada de algunos experimentos hechos con el telé­fono» (nota a la Academia de Ciencias de Turín, 27 de enero de 1878); «Sobre el telé­fono de Graham Bell» (conferencia en la Sociedad de Ingenieros e Industriales de Turín, 2 de febrero de 1878); «Sobre la in­tensidad de las corrientes eléctricas y de las extracorrientes en el teléfono» (memo­ria de la Academia de Turín, 23 de junio de 1878); «Teoremas sobre la distribución de las corrientes eléctricas constantes» (me­moria a los Lincei, 1 de junio de 1879); «Indagaciones teóricas y experimentales so­bre el generador secundario Gaulard y Gibbs» (memoria a la Academia de Turín, 11 de enero de 1885); «Sobre el método del Dr. Hopkinson para la determinación del coeficiente de rendimiento del generador secundario Gaulard y Gibbs» (nota a la Academia de Turín, 10 de mayo de 1885); «Sobre las diferencias de fase de las co­rrientes, el retraso de la inducción y la pérdida de energía en los transformadores» (memoria a la Academia de Turín, 4 de di­ciembre de 1887); «Resultados de algunas experiencias sobre el transformador Zipernowsky, Déri, Bláthy» (escrito inédito en italiano y del que se publicaron una traduc­ción francesa y otra alemana en Budapest, con fecha 2 de julio de 1885.

La traduc­ción alemana, con algunas variantes, se reprodujo en el número de octubre de 1885 de la «Elektrotechnische Zeitschrift»); «Ro­taciones electrodinámicas . producidas por medio de corrientes alternas» (nota a la Academia de Turín, 18 de marzo de 1888, en la que se anuncian los experimentos sobre el campo magnético rotatorio); «So­bre el ‘método de los tres electrodinamómetros para la medida de la energía per­dida por histéresis y por corrientes de Foucault en un transformador» (nota a la Aca­demia de Turín, 22 de noviembre de 1891); «Un método para tratar los vectores rotan­tes o alternativos y una aplicación del mis­mo a los motores eléctricos de corrientes alternas» (memoria a la Academia de Turín, 3 de diciembre de 1893); «Sobre un motor eléctrico sincrónico de corriente alterna» (nota a la Academia de Turín, 1 de abril de 1894); «Teoría geométrica de los campos vectoriales como introducción al estudio de la electricidad, magnetismo, etc.», precedida por una advertencia de Corrado Segre, de la que resulta que este escrito, encontrado sin título entre los papeles de Ferraris, se redactó hacia 1894-95 como primer capítulo de un tratado de electrotecnia.

En este pri­mer volumen se recogen los escritos origi­nales de electrotecnia, en los que se basa de una manera particular la fama del au­tor. Cada uno de estos escritos merece un profundo examen, especialmente los que se refieren a la teoría de los transformadores de corriente alterna, que es, sin exageración, una conquista completamente nueva de Galileo Ferraris, admirable por su elegancia y rigor. El gran descubrimiento del campo magnético rotatorio tiene sus antecedentes y su verdadera explicación en el largo estu­dio sobre los transformadores de corrientes alternas y las corrientes alternas en gene­ral.

Según Grassi, las primeras pruebas se remontan con toda probabilidad a finales de junio de 1885. La hipótesis no carece de base, puesto que es cierto que en la ilota fundamental sobre las rotaciones electro­dinámicas Ferraris dice que las experien­cias allí descritas se llevaron a cabo en el otoño de 1885, aunque en la relación sobre electrotecnia en la Exposición Univer­sal de 1889 en París, tras decir que expe­rimentó un primer modelo de motor en el otoño de 1885, añade que las experiencias pueden remontarse a algún tiempo atrás.

En la nota sobre las rotaciones electrodi­námicas, el autor, tras describir la teoría y la técnica del campo magnético rotatorio, observa que las experiencias descritas pue­den servir para repetir en una forma nueva las clásicas experiencias de Arago, Bab­bage y Herschel, pero especialmente para poner de relieve las diferencias de fase entre las corrientes primaria y secundaria de un transformador, o las que hay entre las corrientes derivadas alternas, o las que pueden existir entre dos corrientes alternas del mismo período; y que al con­trario, se pueden disponer las cosas de manera que pongan de relieve cómo varían las diferencias de fase al variar las resisten­cias de los circuitos y de sus coeficientes de inducción.

El autor describe un verda­dero motor de campo rotatorio y lo estudia desde el punto de vista de la energía, con­cluyendo que el aparato no podría tener importancia alguna desde el punto de vista industrial. Reconoce, sin embargo, que se pueden estudiar sus dimensiones para au­mentar notablemente su potencia y mejorar mucho su rendimiento. Incluso tal como él lo describe, el aparato puede servir para medir la energía eléctrica de una distri­bución de corriente alterna.

Para compren­der bien el punto de vista de Ferraris, hay que recordar que a la sazón todavía no se había desarrollado la técnica de las corrien­tes alternas y que precisamente comenzaba entonces a ser conocida gracias a los tra­bajos de Ferraris. Pero éste sigue siendo un teórico, a pesar de su gran invento. Sus entusiasmos son para la verdad más que para las aplicaciones. «Quien en sus investi­gaciones no piense más que en las aplica­ciones — dice en la conferencia sobre el teléfono — no encontrará nunca nada, y quien, al juzgar la importancia de un des­cubrimiento, no sepa ver más que la uti­lidad que puede reportar, demostrará no haber gustado nunca el verdadero pla­cer de saber».

El segundo volumen contiene la nota sobre las máquinas de inducción (1876); las cinco conferencias sobre la ilu­minación eléctrica (1879); varias relaciones sobre ferias de muestras, congresos, confe­rencias internacionales; la conferencia so­bre la transmisión eléctrica de la energía,’ dada en los Lincei el 3 de junio de 1894 y la necrología de Luciano Gaulard (1889). El tercero, el tratado sobre las transmisiones teledinámicas de Hirn (tesis para el diplo­ma de ingeniero civil, 1869) y sobre las propiedades cardinales de los instrumentos dióptricos (exposición elemental de la teo­ría de Gauss y sus aplicaciones, 1876); la memoria sobre los anteojos con objetivo compuesto por varias lentes a distancia unas de otras (21 de noviembre de 1880); parte de una carta al profesor R. Lippich de Pra­ga, publicada en el «Repertorium der Physik» del Dr. Exner en abril de 1891; la nota «Sobre un método para la medida del agua arrastrada mecánicamente por el va­por» (11 de diciembre de 1881); el nuevo sistema de distribución eléctrica de la ener­gía, en colaboración con Riccardo Arnó (1896), y las dos conmemoraciones de Felice Chió y Giuseppe Basso (1872-1895).

Los es­critos contenidos en estos dos volúmenes, aunque en general no tienen la importancia de los del primero, son indispensables para quien quiera conocer bien la personalidad del autor, su vasta, sólida y moderna cul­tura en continuo progreso, sus grandes cuali­dades de maestro. Ferraris tiene como po­cos el don de asimilar y profundizar las teo­rías científicas. Desde este punto de vista es una verdadera joya la exposición elemental de la teoría de Gauss sobre las propiedades cardinales de los instrumentos dióptricos. Muchos escritos de estos dos volúmenes tienen también importancia científica y téc­nica, y algunos de ellos completan o des­arrollan los escritos del primer volumen.

De un modo particular hay que subrayar el completo reconocimiento de la importan­cia del motor de campo rotatorio por parte de Ferraris, después del éxito práctico que su invento logró, gracias sobre todo a Ni- cola Tesla. Para conocer bien a Ferraris es necesario consultar el volumen publicado por su familia: Fundamentos científicos de la electrotecnia, bajo los auspicios de la A. E. I. (Turín, 1899). De este volumen existe también una traducción alemana diri­gida por Leo Finzi (Leipzig, 1901). También hay que tener presente el volumen En ho­nor de Galileo Ferraris, en la inauguración de su monumento en Turín, 17 de mayo de 1903 (Turín, 1903).

S. Timpanaro