[Œuvres complètes]. Las publicaciones del matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) son más de 789 y abarcan todas las ramas de las ciencias exactas. Una edición completa fue iniciada por la «Académie des Sciences» en 1882.
Cauchy es uno de los hombres que más han contribuido al progreso de las matemáticas en Francia. Siguió brillantemente los estudios de la «École Polytechnique» y de la «École des Ponts et Chaussées»; en 1809 entró en la administración pública, prestando grandes servicios que fueron justamente apreciados; pero, tres años más tarde, tuvo que dejar su empleo, obligado por sus precarias condiciones de salud y, por consejo de Laplace, que había calibrado todo su valor, se dedicó de lleno a las matemáticas.
Las ideas se acumulaban en tal forma en su mente que, para publicar los resultados, no siendo suficientes las revistas a su disposición, se puso a publicar una él mismo, titulada «Exercices de mathématiques», transformada luego en «Nouveaux exercices de mathématiques et de physique», en que se resuelven cuestiones pertinentes a todas las ramas de estas ciencias; de fecha más reciente (1833) es la revista similar «Résumés analytiques», publicada por él en Turin.
Aunque el joven científico permaneciese alejado de la política, no consiguió salvarse de las consecuencias de los acontecimientos que agitaron a Francia en la primera mitad del siglo pasado. Las perturbaciones sufridas por Cauchy en su vida privada (pérdida de la cátedra, destierro, etc.) no fueron capaces de ofuscar su genio, como lo demuestran sus incesantes descubrimientos, los más importantes de los cuales pasamos a señalar.
Apenas salido de la adolescencia, siguiendo un consejo que le dio Lagrange, dirigió su atención al estudio de los poliedros, y muy pronto resolvió negativamente la cuestión, propuesta por Poinsot, de si podían existir poliedros regulares de un número de lados distintos de 4, 6, 8, 12 y 20; en el curso de su investigación sobre este punto dio una importante generalización del teorema de Euler sobre los poliedros.
Prosiguiendo los mismos estudios, en un segundo trabajo determinó las condiciones de igualdad y semejanza de dos poliedros y resolvió la cuestión esencial de si un poliedro queda individualizado por sus caras. Todos estos resultados han pasado a ocupar un lugar definitivo en los elementos de la geometría, y Legendre los incluyó por primera vez en su Tratado de las funciones elípticas y de las integrales eulerianas (v.).
Así Cauchy, que ganó su celebridad principalmente como analista, empezó a ser conocido universalmente como geómetra; pero puede observarse que se había dado a conocer ya en el primer aspecto, pues una elegante solución analítica del problema de Apolonio (círculo tangente a otros tres), que fue publicada en la «Correspondance sur l’École Polytechnique», se difundió tan ampliamente en Francia que se encuentra en muchas obras posteriores.
Aportó una contribución de primer orden a la aritmética superior, al descubrir la tan buscada solución del siguiente teorema: «Todo número entero es descomponible en n + 2 números poligonales del orden n». Como se trata de una de las proposiciones enunciadas por Fermat, Cauchy se colocó junto a Euler y Lagrange, que consiguieron descorrer en parte el velo que recubre tantas páginas de la obra del gran senador tolosano.
Estas investigaciones particulares no impidieron a Cauchy examinar en conjunto el estado del análisis, hasta entonces dominado por Euler, toda la obra del cual se inspira en el concepto de la ilimitada generalidad de las fórmulas algebraicas, siendo toda fórmula, según él, válida para todos los valores de las letras que la componen, incluso cuando llevan a conclusiones indiscutiblemente absurdas.
Cauchy, rebelándose contra ese principio irracional, en su Analyse algébrique (1821), escribió lo que sigue: «He tratado de dar a los métodos todo el rigor que se exige en geometría, de modo que no recurro nunca a las razones sacadas de la generalidad del álgebra; tales razones, aunque admitidas, sobre todo al pasar de las series convergentes a las series divergentes y de las cantidades reales a las imaginarias, no pueden ser consideradas más que como inducciones adecuadas para hacer presentir alguna vez la exactitud y la verdad, pero sin estar muy de acuerdo con la tan decantada exactitud de las ciencias matemáticas.
Hay que observar también que tienden a hacer atribuir a las fórmulas algebraicas una extensión indefinida, mientras en realidad la mayor parte de dichas fórmulas sólo subsisten bajo ciertas condiciones y para ciertos valores de las cantidades que contienen. Al determinar dichas condiciones y dichos valores y fijar de modo preciso el sentido de las notaciones hice desaparecer toda incertidumbre».
Como ve el lector, queda así fijado todo un programa de trabajo; el caso que se hizo de Cauchy está ampliamente demostrado en las fases sucesivas de nuestra ciencia; que la reforma era urgente queda comprobado con mil hechos, entre los que basta citar la circunstancia de que Laplace, apenas tuvo noticia de las ideas de su joven colega, se precipitó a verificar si eran convergentes las series con las que en su Tratado de mecánica celeste (v.), aplicando las leyes de la gravitación universal, había demostrado la estabilidad del sistema del mundo.
El culto por el rigor, que resulta del fragmento referido, gobierna toda la obra del gran analista y explica la actitud crítica adoptada por él contra Poncelet respecto a la adaptación a las matemáticas del principio de «continuidad geométrica» como método de demostración. Gran número de obras de Cauchy se refieren a los fundamentos de la teoría de los números imaginarios y su representación geométrica.
Tales estudios lo llevaron, naturalmente, a una de las más amplias e importantes teorías matemáticas: la teoría de las funciones de una variable compleja. El primer trabajo que se refiere a ello es la célebre memoria Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (1825); se lee allí, entre otras cosas, la fórmula que expresa el valor de una función de variable compleja en un punto cualquiera de un campo en el que ella sea continua y finita, mediante los valores que adquiere sobre el contorno de dicho campo.
De ahí surge el hecho inesperado de que una variable compleja es un ente analítico totalmente distinto de una función de variable real. No podemos referir todas las importantes consecuencias sacadas por el descubridor de la citada fórmula; lo que no puede callarse es que la obra posterior de Cauchy es en gran parte una consecuencia de la memoria de 1825; así pudo determinar los valores de muchas integrales definidas notables, estudiar las funciones biperiódicas y establecer las bases de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales.
Si más tarde, por falta de tiempo, no pudo mantener el empeño de extender la disciplina creada por él a las integrales dobles y a las funciones de muchas variables, desbrozó el camino para que sus sucesores llegaran a la meta. El análisis del infinito no impidió a Cauchy ocuparse fructíferamente del álgebra. Ya en 1812 publicó una memoria en la que más tarde fueron revisados elementos esenciales de la teoría de las sustituciones, pero que, desde entonces, facilitó a Abel algunos de sus elementos para su demostración de la irresolubilidad algebraica de las ecuaciones de grado superior al cuarto.
El estudio de los conocidos métodos de eliminación de Euler y Bézout lo llevó a ocuparse de los determinantes (ordinarios y funcionales) y aplicarlos a los sistemas determinados de ecuaciones lineales e incluso a ciertas ecuaciones de derivados parciales. También las ecuaciones binomias y las impropiamente llamadas de Pell, le deben notables perfeccionamientos.
Nuestro científico, que inició su carrera como ingeniero, nunca se alejó completamente de las aplicaciones de la matemática (se podría incluso encontrar en sus escritos los orígenes y el estímulo para algunos descubrimientos suyos estrictamente teóricos). En 1816 la Academia de París propuso como tema para el Gran Premio de Matemáticas «establecer la teoría de la propagación de las ondas en la superficie de un fluido pesado y de una profundidad indefinida»; el premio le fue conferido con toda razón, pues además de resolver completamente la cuestión planteada extendió su solución a toda la masa del fluido considerado [Théorie des ondes].
La teoría matemática de la luz le ocupó durante toda la vida; estudió los fenómenos de dispersión, la doble refracción y finalmente llegó a ecuaciones generales cuya aplicabilidad demostró incluso para el calor. Otra teoría fisicomatemática que fue objeto de amplios y profundos estudios suyos es la del equilibrio y movimiento de las láminas elásticas.
Son también numerosísimos sus escritos sobre astronomía teórica; lo profundo que era su conocimiento sobre dicha materia queda demostrado con el siguiente episodio: el conocido astrónomo Leverrier presentó al Instituto de Francia, para su publicación, una extensa memoria de mecánica celeste, sobre la cual se pidió un informe a Cauchy. Éste, asustado por la perspectiva de tener que repetir, para la comprobación, una ingente cantidad de cálculos, inventó un método totalmente nuevo con objeto de alcanzar el mismo fin, enriqueciendo así la mecánica celeste con un procedimiento de cálculo totalmente nuevo y de notable valor práctico.
Profesor no sólo eminente sino apasionado por la enseñanza, no desdeñó ocuparse de cuestiones elementales (aun después de haber dejado de ocuparse de la instrucción del hijo de Carlos X); como prueba de ello tenemos su memoria «Sobre el modo de evitar errores en los cálculos numéricos». De él poseemos afortunadamente algunos tratados considerados hoy como obras clásicas y que vamos a recordar, además del ya citado Analyse algébrique: Traité de calcul différentiel et intégral, Cours d’analyse a l’École Polytechnique, Legons sur les applications du calcul infinitésimal á la géométrie (1816-28).
No pretendemos haber citado todo lo que merecía ser recordado, pero esperamos que se nos perdonen las lagunas, en consideración a la enorme amplitud del campo que se extendía ante nosotros. Añadamos que Cauchy, hombre de firme fe religiosa, dio en un Instituto católico francés una docta conferencia Sobre algunos prejuicios de poetas y literatos contra los físicos y geómetras, en la que refutó especialmente la afirmación, a menudo repetida, de que las ciencias exactas e incluso las ciencias naturales y la medicina resecan la mente y el corazón.
Y, como para confirmar este aserto, se prodigó en la fundación y administración de institutos de educación y beneficencia; de modo que su nombre es ampliamente conocido y está rodeado de profunda admiración incluso fuera del mundo científico, sobre el que arrojó una luz tan abundante.
G. Loria
