Cálculo Geométrico Según el Ausdehnungslehre de H. Grassmann Precedido de las Operaciones de la Lógica Deductiva, Giuseppe Peano

[Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, preceduto dalle operazioni della lógica deduttiva], Obra del matemático Giuseppe Peano (1858-1932), publicada en Turín en 1888. Hacia el año 1679, Leibniz (1646-1716) entrevió la posibilidad de fundar un nuevo cálculo, apto para la investigación geomé­trica; esto es, un sistema de operaciones a seguir con entes geométricos, análogo al que el álgebra sigue con los números. Fue sin embargo en el siglo siguiente cuando estas ideas tomaron forma y consistencia, con August Ferdinand Móbius [Der barycentrische Calcül, 1827], G. Bellavitis [Teo­ría delle Equipollenze, 1854], William Rovan Hamilton [Lectures on Quaternións, 1853; Elements of Quatemions, 1866], y sobre todo con H. G. Grassmann [Die Wissenschaft d. extensiven Grósse oder die Ausdehnungslehre 1.a parte, Leipzig, 1844], Peano se propuso exponer en forma simple y sencilla un cálculo geométrico basado sobre algunas notaciones contenidas en la citada obra de Grassmann, desenvolviendo las principales consecuencias. Las definicio­nes son, sin embargo, completamente nue­vas con relación a las de Grassmann, así como el método de tratar el asunto y mu­chas fórmulas que tratan de evitar cuida­dosamente la forma abstrusa y difícil.

El primer capítulo está dedicado a las opera­ciones de la lógica deductiva, cuyo des­envolvimiento presenta grandes analogías con el del álgebra y el cálculo geométrico; este capítulo constituye por sí un conjunto orgánico, fundamental en muchas ramas de la matemática. Los capítulos del dos al siete, contienen la clasificación de los entes geométricos en formaciones geométricas de 1.a, 2.a, 3.a y 4.a especie y el tratado de las operaciones a seguir en tales formacio­nes. En el capítulo octavo, se aplican a las formaciones geométricas los conceptos del cálculo infinitesimal, enunciando los teore­mas que a él se refieren y que son en gran parte nuevos. Este capítulo tiene mucha relación con cuanto Peano había publicado el año anterior en las Aplicaciones geomé­tricas del cálculo infinitesimal [Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale] (Tu­rín, 1887). El último capítulo, trata de las «transformaciones lineales». Se puede ob­servar cierta sobreabundancia en los con­ceptos expresados en este volumen; más tarde estos elementos los redujo el propio Peano a un sistema mínimo en los Elemen­tos de cálculo geométrico [Elementi di cal­colo geométrico] (Turín, 1891). Este último trabajo es importante, además de por su propio mérito, porque puede decirse que inicia el moderno cálculo vectorial, que tan­to se aplica en las obras modernas de me­cánica, de física matemática y, en algunos ramos de la matemática pura, como por ejemplo en la geometría diferencial.

A. Procissi