Nació en Kovili el 30 de enero de 1841 y murió en Viena el 27 de noviembre de 1910. Luego de haber frecuentado las escuelas elementales y secundarias en Serbia, doctoróse en jurisprudencia en Budapest (1866). Este mismo año fue nombrado profesor de serbocroata, de alemán y de botánica en Novi Sad; pero en 1877 abandonó la enseñanza para ingresar en la carrera administrativa y dedicarse al mismo tiempo a la política y a la literatura. Había escrito ya diversas narraciones fantásticas, y empezaba entonces a intentar los caminos de la poesía lírica; al mismo tiempo daba al teatro serbio el primero de sus dramas en verso, la apreciada obra Maksim Crnoievich (v.).
Tras una falsa denuncia, en 1869 — luego del asesinato del príncipe Mihailo Obrenovich — fue detenido en Pest. En su calidad de miembro de la organización patriótica «Omladina» marchó en 1875 a Ce- tiña para la realización de una misión secreta. Entre 1873 y 1876 trabajó activamente como diputado en la Dieta de Budapest. Cuando los húngaros suprimieron el partido nacional serbio, Kostich se trasladó a Servia. En 1879 fue nombrado secretario de embajada en San Petersburgo, donde al año siguiente, a causa del cambio de gobierno acontecido en Servia y a una denuncia del embajador fue apartado del servicio. A partir de entonces ocupóse principalmente en el periodismo y la literatura, y experimentó una evolución política con progresivas tendencias derechistas.
Dirigió en Belgrado el órgano liberal Srpska Nezavisnost [La independencia serbia]. En Cetiña desarrolló durante cinco años (1884-89) una labor de publicista que interrumpió la oposición del príncipe Nicolás. Los dos últimos decenios de la actividad de Kostich resultaron muy fecundos: es autor, además de dos nuevos dramas (Pera Segedinac, 1882, y Gordona, 1890), notables composiciones líricas, estudios y ensayos críticos, publicó versiones de Shakespeare, a las cuales todavía hoy se debe parte de su fama.
R. Picchio