[Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia]. Tratado de geometría del jesuita, publicado en Milán en 1733, en dos libros, de dos partes cada uno.
El tema del primer libro lo da el quinto postulado de Euclides. Desde la antigüedad muchos otros geómetras habían hecho notar que este postulado es por naturaleza distinto de todos los demás y mucho menos evidente; pero cuantos habían intentado su demostración, únicamente habían conseguido sustituirlo por otros postulados sólo en apariencia más evidentes. Saccheri quiso, en cambio, prescindir del quinto postulado y demostrar que, negándolo, se incurre en contradicción. Empezó considerando un cuadrilátero plano con tres ángulos rectos: prescindiendo del quinto postulado, el cuarto ángulo podía ser agudo, recto u obtuso. La segunda hipótesis equivale a admitir el quinto postulado y se deduce de él toda la ordinaria geometría euclidiana.
La hipótesis primera y tercera conducen, en cambio, a dos construcciones geométricas muy distintas y lógicamente impecables: la geometría hiperbólica y la geometría elíptica, llamadas, ambas, «geometrías no euclidianas». Saccheri estaba convencido a priori de la verdad de la geometría euclidiana, y mientras desarrollaba varias proposiciones de las geometrías hiperbólica y elíptica, buscaba, sin conseguirlo, descubrir posibles contradicciones para demostrar su falsedad- Por este camino Saccheri llegó a algunos teoremas que en el siglo siguiente volvieron a hallarse, con otros métodos, por N. I. Lobatchevski (1793-1856) y por J. Bolyai (1802- 1860). El mérito de Saccheri radica, pues, en haber sido el primero en tratar de construir un edificio geométrico independiente del quinto postulado. El segundo libro del Euclides de Saccheri es mucho menos importante que el primero y constituye un comentario a la definición sexta del libro quinto de Euclides y a la definición quinta del libro sexto.
La obra quedó olvidada casi por completo hasta que Beltrami (1835 – 1900) atrajo sobre ella la atención de los estudiosos (Un precursor italiano de Legendre y de Lobatchevski [Un precursore italiano di Legendre, e di Lobacewskij], «Rend. Acc. Lincei» IV, núm. 5, l.er semestre 1889, p. 441) y fue traducida al inglés por George Bruce Halsted [«The Amer. Math. Monthly», 1894 y ss.], al alemán por F. Engel y P. Sáckel [Die Theorie der Parallellinien von Euclid bis auf Gauss, Leipzig, 1895] y finalmente al italiano por G. Boccardini [L’Euclide emendato, Milán, 1903]. Es difícil precisar la influencia de la obra de Saccheri sobre los geómetras posteriores; a este propósito cfr. Segre [Congetture intorno all´influenza di Girolamo Saccheri sulla fondazione della geometria non-eucli– dea, «Atti Acc. Torino», 38 (1902 – 1903), p. 535].
A. Procissi