[Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate axiomatis XI Euclidis (a priori haud unquam deciden– da) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geométrica]. Obra del matemático húngaro János (Juan) Bólyai (1802-1860), pequeña de tamaño (26 pá­ginas con 43 capítulos) pero que tiene el grandísimo mérito de haber servido de pun­to de partida a un gran número de tratados salidos a luz más tarde sobre el valor de las hipótesis que sirven de base al estudio de la Geometría. Apareció como apéndice en el Tentamen Juventutem studiosam in elementa Matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentique huic propria, introducendi, publicada en 1832 por su padre Farkas (Wolfang) Bólyai, ma­temático de valía, que contribuye en buena medida a la crítica del V postulado de Euclides, llamado «axioma XI».

Ya para los comentadores del período alejandrino ha­bía despertado este postulado sospechas so­bre su evidencia, pareciendo que era sus­ceptible de demostración; de cuyas sospe­chas nacieron todas las tentativas hechas hasta los tiempos modernos por los geóme­tras que han llegado a la convicción de que la solución definitiva de la teoría de las paralelas constituye en este sentido un pro­blema irresoluble; se ha llegado así, por obra de eminentes matemáticos, entre los que sobresalen los nombres de Gauss, de Lobacevskij y de los dos Bólyai, a cons­truir una geometría no euclidiana, en la que, repudiando el postulado V de las para­lelas, las deducciones aparentemente para­dójicas y no exentas de contradicciones, tienen un concepto más general del circuns­crito en dicho postulado. János Bóiyai se sintió, en estas investigaciones, atraído por las lecciones de su padre, y trató de ceñirse a la demostración del axioma XI; sólo ha­cia el 1821 reconoció los errores cometidos y se propuso construir una teoría absoluta del espacio con método deductivo, sin de­cidir a priori sobre la validez del axioma. En 1829, comunicó el manuscrito a su pa­dre, el cual sin sentirse muy satisfecho, so­bre todo a causa de una constante indeter­minada aparecida en la fórmula de su hijo, se decidió a publicar la nueva teoría como apéndice de su Tentamen. El Appendix de János se reimprimió en 1903 por cuenta de la Academia Húngara de Ciencias, con for­mato en cuarto y papel de lujo, con cua­renta páginas y cuatro tablas; existe una traducción italiana de G. Battaglini en el tomo IV del «Giornale di Matematiche», págs. 97-115 (1868).

Los más importantes resultados a que llegó Bóiyai son los si­guientes: definición de las paralelas y sus propiedades, prescindiendo del postulado euclidiano; círculo y esfera de radio infini­to; la geometría sobre la esfera de radio in­finito es idéntica a la geometría ordinaria plana; la trigonometría esférica es inde­pendiente del postulado de Euclides; demos­tración directa de las fórmulas; trigonome­tría plana en el caso no euclidiano, aplica­ciones al cálculo de las áreas y de los vo­lúmenes; problemas resolubles elemental­mente, construcción de un cuadrado equi­valente a un círculo en la hipótesis de la falsedad del postulado V. Si bien especial­mente en el contenido analítico, Bóiyai des­arrolla menos la geometría imaginaria que Lobacevskij, al menos la independencia del postulado V está más acentuada en el tra­bajo del húngaro, quien llama proporciones absolutamente verdaderas y pertenecientes a la ciencia absoluta del espacio, a las que son independientes del postulado.

P. Pagnini