Preliminares de una Teoría Geométrica de las Superficies, Luigi Cremona

[Preliminari di una teoría geométrica del le super­ficie]|. Obra de Luigi Cremona (1830-1903), publicada en las «Mem. dell’Accademia de Bologna», II Ser., vol. VI, 1866, y que des­pués formó parte de las Obras matemáticas (Milán, tomo II, 1915, págs. 281-387).

Una curva plana es una sucesión de puntos si­tuados en un plano y unidos entre sí por una determinada ley; mediante dos coorde­nadas, dicha línea puede ser representada por una ecuación. Para generalizar ese con­cepto del plano hasta el espacio se puede suprimir la condición de estar en un mismo plano, o bien suponer que en la ecuación respectiva las coordenadas son tres en vez de dos. En el primer caso se tienen las líneas curvas, y en el segundo, las super­ficies. Ahora bien, mientras que hacia 1865 solamente se conocía un único resultado importante en la teoría de las curvas ala­beadas algébricas (como señalaremos más adelante), la teoría de las superficies algé­bricas era rica en bibliografía.

Cremona, al comprobar el éxito de su Introducción a una teoría geométrica de las curvas planas (v.) — que fue traducida al alemán —, se sintió inducido a componer una obra parecida en la que apareciese metódicamente coordina­do todo cuanto hasta entonces se conocía respecto a las superficies algébricas, no sin unir algún importante complemento. Es la obra que pasamos a resumir. Consta de dos partes. La I comienza con varias nociones esenciales concernientes a las cónicas, las cuales se obtienen de otras referentes a las curvas planas, mediante proyecciones desde un centro, o que corresponden a las mismas siguiendo la ley de dualidad en el espacio; en particular subsisten para las cónicas al­gébricas unas fórmulas totalmente análogas a las de Plücker.

Atendiendo a la utiliza­ción futura, Cremona pasa seguidamente a considerar las curvas convexas algébricas y las superficies desarrolladas constituidas por sus planos osculadores; la figura resul­tante está caracterizada por diez números sujetos a cuatro relaciones, que reciben el nombre de «fórmulas de Cayley» por ser éste su descubridor. En este punto el autor inicia el estudio de las superficies algébri­cas, introduciendo el estudio de las diversas particularidades que fueron ya consideradas. Interrumpiendo después las consideraciones de carácter general se detiene en las super­ficies de segundo orden, para dar noticia de la teoría de las figuras polares recípro­cas, la cual permite estudiar una superficie desde dos distintos puntos de vista, com­pletando así la visión de sus caracterís­ticas.

Después de hacer algunas nuevas consideraciones sobre los sistemas lineales de superficies y sobre los desarrollos corres­pondientes, se estudian las principales par­ticularidades de las superficies convexas (líneas no desarrollables), a las cuales se debe recurrir para resolver las cuestiones relativas a la teoría general que es objeto de examen. La gran utilidad de la teoría de las curvas polares, para el estudio de las curvas planas, induce a Cremona a ocu­parse de las «superficies polares» análogas; por ello, al comenzar la II parte, él las define y establece los principales teoremas relativos. De ello deduce la expresión del género de una superficie algébrica general en su orden y cualquier otro número del mismo género.

Se pasa después a la genera­ción de una superficie algébrica mediante haces de superficies de orden inferior (cfr. la génesis semejante de las curvas planas) asociando algunos teoremas concernientes a las superficies en correspondencia; pasando del plano al espacio, además de recurrir a los haces, utiliza, con fines generativos, las retículas en correspondencia unívoca; interesa, no obstante, no limitarse a éstas, sino extenderse a los sistemas lineales tri­plemente infinitos e incluso de infinidad cualquiera; cuánto puede ser ventajoso todo ello, se deduce del gran número de proposiciones numéricas establecidas por el gran matemático italiano en las últimas páginas de su obra. Señalemos que, al ter­minar, el autor declara que no ha agotado el tema, proponiéndose particularmente es­tablecer más adelante las propiedades del «haz de Hesse» en una superficie.

El lector se asombrará de que Cremona, inspirándose en cuanto alcanzó estudiando las curvas planas, no dedique una tercera parte, en su obra, a las superficies de tercer orden. La razón se debe a que a éstas dedicó un traba­jo especial, titulado Mémoire de géométrie pure sur les surfaces de troisième ordre, que presentó ante la Academia de Berlin, en 1864, para aspirar al premio Steiner, que le fue concedido efectivamente por dicha corporación.

G. Loria