Euclides Reivindicado, P. Girolamo Saccheri

[Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia]. Tratado de geometría del jesuita, publicado en Milán en 1733, en dos libros, de dos partes cada uno.

El tema del primer libro lo da el quinto pos­tulado de Euclides. Desde la antigüedad muchos otros geómetras habían hecho no­tar que este postulado es por naturaleza distinto de todos los demás y mucho menos evidente; pero cuantos habían intentado su demostración, únicamente habían conse­guido sustituirlo por otros postulados sólo en apariencia más evidentes. Saccheri quiso, en cambio, prescindir del quinto postu­lado y demostrar que, negándolo, se incurre en contradicción. Empezó considerando un cuadrilátero plano con tres ángulos rectos: prescindiendo del quinto postulado, el cuar­to ángulo podía ser agudo, recto u obtuso. La segunda hipótesis equivale a admitir el quinto postulado y se deduce de él toda la ordinaria geometría euclidiana.

La hipótesis primera y tercera conducen, en cambio, a dos construcciones geométricas muy distin­tas y lógicamente impecables: la geometría hiperbólica y la geometría elíptica, llama­das, ambas, «geometrías no euclidianas». Saccheri estaba convencido a priori de la verdad de la geometría euclidiana, y mien­tras desarrollaba varias proposiciones de las geometrías hiperbólica y elíptica, buscaba, sin conseguirlo, descubrir posibles contra­dicciones para demostrar su falsedad- Por este camino Saccheri llegó a algunos teore­mas que en el siglo siguiente volvieron a hallarse, con otros métodos, por N. I. Lobatchevski (1793-1856) y por J. Bolyai (1802- 1860). El mérito de Saccheri radica, pues, en haber sido el primero en tratar de construir un edificio geométrico independiente del quinto postulado. El segundo libro del Euclides de Saccheri es mucho menos importan­te que el primero y constituye un comen­tario a la definición sexta del libro quinto de Euclides y a la definición quinta del li­bro sexto.

La obra quedó olvidada casi por completo hasta que Beltrami (1835 – 1900) atrajo sobre ella la atención de los estudio­sos (Un precursor italiano de Legendre y de Lobatchevski [Un precursore italiano di Legendre, e di Lobacewskij], «Rend. Acc. Lincei» IV, núm. 5, l.er semestre 1889, p. 441) y fue traducida al inglés por Geor­ge Bruce Halsted [«The Amer. Math. Monthly», 1894 y ss.], al alemán por F. Engel y P. Sáckel [Die Theorie der Parallellinien von Euclid bis auf Gauss, Leipzig, 1895] y finalmente al italiano por G. Boccardini [L’Euclide emendato, Milán, 1903]. Es difícil precisar la influencia de la obra de Saccheri sobre los geómetras posteriores; a este propósito cfr. Segre [Congetture intorno all´influenza di Girolamo Saccheri sulla fondazione della geometria non-euclidea, «Atti Acc. Torino», 38 (1902 – 1903), p. 535].

A. Procissi