Del Equilibrio de los Planos o de su Centro de Gravedad, Arquímedes

Tratado de estática de capital importancia para la física matemática porque sienta las bases del estudio geométrico de la estática. En la primera parte el autor establece ocho proposiciones elementales, evidentes por sí mismas sobre las cuales construirá su sistema.

Todas ellas derivan de hechos sencillos, y pueden ser comprobadas con una balanza común: los cuerpos de igual peso quedan en equilibrio cuando están suspendidos a distancias iguales de un punto de apoyo: no lo están si se hallan suspendidos a longitudes desiguales; qui­tando o añadiendo algo a los pesos en equilibrio se provoca un desequilibrio; superponiendo dos figuras iguales o seme­jantes, sus centros de gravedad coincidi­rán; en el caso de figuras desiguales y se­mejantes los centros de gravedad están dispuestos en semejanza, esto es, líneas rectas trazadas desde ellos a ángulos igua­les forman ángulos iguales con sus homólo­gos; magnitudes iguales a otras, en equili­brio, suspendidas a longitudes iguales, esta­rán también en equilibrio si están suspendi­das a las mismas longitudes; el centro de gravedad de una figura de contorno cóncavo se halla en su interior.

De estas proposi­ciones elementales, Arquímedes deduce otras que ofrecen en su conjunto el teo­rema fundamental de su estática; si dos o más magnitudes iguales tienen centros de gravedad diversos, la magnitud compuesta por ellas, tiene como centro de gravedad el punto medio de la recta que une los dos centros de gravedad de las magnitudes dadas: si dos magnitudes de igual peso presentan centros de gravedad sobre la misma recta, el centro de gravedad de la magnitud compuesta es el centro de grave­dad de la magnitud mediana. Además, dos magnitudes, conmensurables o inconmensu­rables, están en equilibrio cuando son inver­samente proporcionales a las longitudes a que están suspendidas; así se formula la condición de equilibrio de la palanca, esto es, de la primera de las máquinas simples. Arquímedes determina después el centro de gravedad que se obtiene quitando una porción de una figura dada; y la prime­ra parte de la obra termina con un estu­dio particular de los centros de gravedad de un paralelogramo, de un triángulo o de un trapecio, considerado como diferencia de dos triángulos.

La segunda parte está dedicada a la investigación del centro de gravedad de un segmento parabólico que presupone lógicamente el conocimiento del otro tratado Cuadratura de la parábola (v.). El autor obtiene este centro de gra­vedad, considerando en el segmento mis­mo una figura inscrita propiamente, esto es, una figura que resulta de la suma de un triángulo inscrito y de los sucesivos triángulos que se van formando por suce­sivas inserciones, en los segmentos para­bólicos que quedan. El centro de gravedad del segmento parabólico cae sobre la recta que une el vértice al centro de la base y la divide en dos partes tales, que la con­tigua al vértice está, con la cercana a la base, en la relación de 3 a 2. En estas minuciosas investigaciones matemáticas se plantean metódicamente y por primera vez, los problemas fundamentales de la estática,, y se resuelven matemáticamente, hasta en casos particulares.

O. Bertoli