Los Principios de las Matemáticas, Louis Gouturat

[Les principes des mathématiques]. Obra de Louis Gouturat (1868-1914), publi­cada en 1910. Prosiguiendo los trabajos de Peano y de Russell, Couturat quiere fundar una nueva lógica matemática. Después de los estudios del siglo XIX no puede consi­derarse la matemática como intuitiva, sino que, volviendo a Leibniz, hay que consi­derarla como una particular promoción de la lógica.

Abandonando la definición de «ciencia de la cantidad», las matemáticas son, pues, consideradas como la ciencia del método deductivo demostrativo, o sea como una lógica que no reposa en postula­dos o axiomas, sino exclusivamente en defi­niciones. Resulta de ello un complicado sis­tema de principios y símbolos con los que el autor trata de fundar la matemática pura sin recurrir a la intuición. La parte fundamental de la lógica, por ejemplo, es el cálculo de las proposiciones. La relación esencial de este cálculo es la relación de implicación entre dos proposiciones: ésta es la primera noción indefinible o primer prin­cipio lógico. Después del cálculo de las pro­posiciones pasa al cálculo de las clases. Sea ϕ X una función de la variable X, que determina una clase, es decir, el conjunto de los valores de X para los cuales aquélla es verdadera. Sigue al cálculo de las clases el de las relaciones. Estos son los elementos de la lógica que bastan para fundar las matemáticas.

En lo relativo a la metodo­logía, Couturat estudia el método lógico que encuentra en un doble proceso de reducción: de unas nociones a otras por medio de la definición y de unas propo­siciones a otras por medio de la demos­tración. Tratando del número, niega que se puedan derivar todas las matemáticas de la idea del número; además del núme­ro hay, por lo menos, la teoría de los com­plejos y las de las sustituciones y de los grupos que van al frente de la idea de orden. Hay, pues, que admitir al menos estas dos ideas: la de número y la de orden. La obra va seguida de un apéndice sobre la filosofía de las matemáticas de Kant, donde, además de anotar diversas dificultades in­trínsecas a la doctrina del gran filósofo en este campo especial, refuta la famosa afir­mación kantiana de que los juicios matemáticos son sintéticos y se basan en la intui­ción. El libro fórma parte de un amplio movimiento llamado «Lógica matemática», que Russell define así : «La lógica constituye la parte general y elemental de las mate­máticas y las matemáticas consisten en la aplicación de los principios de la lógica a relaciones especiales». Considerable a principios de nuestro siglo, esta corriente fue y sigue siendo combatida por las doctrinas kantianas y la doctrina de la contingencia.

A. Biraghi