Vivió en el siglo XVI (son inseguras las fechas de su nacimiento y muerte) y él afirma que es boloñés y en Bolonia ejerció gran parte de su actividad de matemático y de hidráulico.
Fue su maestro en la hidráulica un tal Francesco Clementi, que trabajó en el desecamiento de los pantanos de Foligno, y él mismo cuidó de los trabajos de mejoramiento del valle de Chiana. En un intervalo de estas obras, cuando —muertos sus principales animadores Clemente VII, el cardenal Hipólito y el duque Alfonso — se suspendieron los trabajos por el endurecimiento de las luchas políticas, atendió Bombelli a la redacción de su Álgebra (v.).
Habiendo entrado en disputa con los grandes algebristas italianos, se pronunció por Cardano (v.) y Ferrari contra Tartaglia. Ideó un procedimiento para la resolución de las ecuaciones de 4.° grado, todavía conocido hoy con el nombre de «regla de Bombelli», que no difiere, sin embargo, sustancialmente del procedimiento ya empleado por Ferrari.
Notable fue su contribución al perfeccionamiento del algoritmo algebraico; pero el principal progreso realizado se refiere al cálculo de los imaginarios que Bombelli llama «más de menos» y «menos de menos». Bombelli formó parte del grupo de aquellos esforzados científicos del siglo XVI que comprendieron la necesidad — como sus contemporáneos filósofos y literatos — de retomar a las fuentes griegas para asimilar su precioso patrimonio de ideas.
Se dedicó en especial al estudio de Diofanto (v.), emprendiendo, con Antonio Pazzi, la traducción de su Aritmética (v.), trabajo que no se terminó, y sacó de ella sugerencias y estímulos para trabajar en la aritmeticación de las matemáticas, desvinculándolas del dominio exclusivo del método geométrico. En cierto sentido puede remontarse precisamente a esta obra de aritmeticación el origen de la geometría analítica (ya que Fermât, v., universalmente reconocido como uno de los inventores, junto con Descartes, de esta rama de las matemáticas modernas, fue también un apasionado estudioso de Diofanto).
L. Geymonat