Los escritos de Pierre Fermât (1601-1655) fueron editados por primera vez (1679) por su hijo Samuel con el título Varia opera materna– tica D. Pétri de Fermât: Senatoris Tolosani, pues nada o casi nada quiso publicar en vida el docto matemático y magistrado.

Hombre modesto, había dado en realidad a la im­prenta sólo su monografía Dissertatio geométrica de linearum curvarum comparatione, y hecho públicos algunos de sus mayo­res descubrimientos sólo por medio de bre­ves comunicaciones verbales y epistolares, lo cual, sin embargo había bastado para darlo a conocer como uno de los más gran­des matemáticos. El gobierna francés de­cretó en 1843 una edición completa de sus obras que fue publicada al cuidado de P. Tannery, Ch. Henry y C. de Waard en los años 1891, 1894, 1896, 1912-1922 (Oeuvres de Fermât, publiées par les soins, etc…. sous les auspices du Ministère de l’instruction publique. Cuatro volúmenes y un suple­mento).

La modestia del autor produjo la pérdida irremediable de otros trabajos su­yos. En el campo de la geometría tiene par­ticular importancia un estudio suyo sobre los Contactos esféricos en que trata los quince casos presentados del problema: construir una esfera que pase por m pun­tos dados y tangente respecto a p planos y a s esferas, cuando, m + p + s = 4.

Pro­bablemente Fermât se planteó este proble­ma después de haber leído una «adivina­ción» que François Viete (1540-1603) había hecho de una obra de Apolonio de Perga, cuya pérdida se lamentaba, y que se refe­ría al problema: construir un círculo tan­gente a otros tres lados. Una «adivinación» semejante — relativa a los Lugares planos de Apolonio igualmente perdidos — halla­mos también en las Obras de Fermât, y según parece aquel trabajo había sido ya ejecutado desde 1630. De mayor importan­cia son, sin embargo, sus contribuciones a la constitución de la «geometría analítica», de la cual puede decirse que él fue el pa­dre, junto con Descartes., puesto que su memoria Ad locos planos et solidos isagoge se remonta a 1637.

Sirviéndose de los sím­bolos de Viete, trató ampliamente la ecua­ción de la recta, y las de la hipérbola, de la parábola y de la circunferencia. En fin, en un apéndice a su trabajo trata de la resolu­ción de problemas de tercer y cuarto grado mediante curvas del segundo orden: cuestión discutida más de raíz en la célebre Geome­tría (v.) de Descartes. Acerca del mismo te­ma se desarrolla una disertación suya, Sobre la solución de los problemas geométricos me­diante las más sencillas curvas posibles, en la que él se propone reparar errores o imper­fecciones contenidos en la obra maestra de Descartes, y en particular mostrar cómo el geómetra francés pecó de inelegancia intro­duciendo — al tratar algunos problemas — curvas más complicadas de lo que era nece­sario.

Más originales todavía fueron sus contribuciones a la «teoría de los números», hasta el punto de que le granjearon opinión de verdadero creador de dicha teoría, a la cual matemáticos antiguos como Pitágoras, Euclides y Diofanto habían dado apenas comienzo. El estudio metódico de las pro­piedades de los números enteros puede de­cirse que en realidad comienza con Fermat, si bien todo lo que ha llegado del asunto hasta nosotros está contenido casi exclusi­vamente en los estrechos márgenes de un ejemplar de Diofanto.

Estas apostillas fue­ron editadas en 1670 por su hijo Samuel, y, reimpresas en las Obras de Fermat, son todo cuanto nos quedó de él acerca de dicha teoría, „junto con algunos trozos de su correspondencia. Citamos algunos de sus re­sultados más célebres: la aserción (llamada gran teorema de Fermat) según la cual las ecuaciones xn + yn = zn no es resoluble en números enteros. Esta aserción demostra­da como verdadera por Fermat para n = 3 en una carta a Carcavy de 1659), aunque se haya comprobado para numerosos valo­res de n, no lo ha sido para «cualquier valor de n» a pesar de los esfuerzos realizados por matemáticos de todas las épocas y paí­ses.

Fermat nos advierte que no da la de­mostración, que promete desarrollar en otra parte porque no cabe dentro de su Diofanto; de manera que una demostración cualquiera de aquel teorema falta hoy todavía hasta el punto que es preferible hablar — como hacen muchos — de «hipótesis» (y no «teo­rema») de Fermat. Otra proposición impor­tantísima establecida por nuestro matemá­tico (carta a Frenicle, 1640) es la siguiente: Si a es un número cualquiera y p un nú­mero primo, resulta que ap — 1 es divisible por p. Numerosas son las propiedades de los números primos descubiertas por nuestro matemático: así acerca de los primos 4 n-\-1 observa — entre otras cosas — que cada uno de ellos puede ser de un solo modo hipotenusa de un triángulo, mientras que sus cuadrados lo son de dos modos diver­sos, sus cubos de tres, etc.

En otra apos­tilla a Diofanto descubre que no existe ningún triángulo rectángulo cuyos lados es­tén expresados por números enteros y cuya área lo sea por un número cuadrado per­fecto, pero también aquí falta una demos­tración completa por la estrechez del mar­gen del libro. Bachet de Méziriac, el célebre autor de la edición de Diofanto, había afir­mado la posibilidad de descomponer cual­quier número en la suma de un número de cuadrados no superior a cuatro; posibilidad entrevista por el propio Diofanto.

Fermat añadió un resultado más general afirmando que todo número es, o triangular o suma de 2 ó 3 triangulares; o cuadrado o suma de 2, ó 3, ó 4 cuadrados; o pentagonal o suma de 2, 3, 4 y 5 números pentagonales, y así sucesivamente. Si junto a Descartes’ y a algunos precursores — como Bombelli — Fermat puede ser considerado como Uno de los fundadores de la geometría analítica, es menester en cambio colocarlo junto a Leibniz, Newton y Cavalieri entre los que dieron el primer impulso al cálculo infini­tesimal, del cual Lagrange le llamaba pre­cisamente el creador. Es un hecho que el gran matemático francés fue el primero en estudiar las cuestiones de máximo y mínimo (desde 1636) con el método que hoy llama­mos de las «derivadas» aprovechándose de una genial intuición que se presenta por primera vez en la obra del prelado fran­cés N. Oresme (siglo XIV) y que se en­cuentra también más tarde en la Estereometría de Kepler.

En 1643 completó ade­más su método mediante una consideración que equivale a la investigación del signo de la segunda derivada para establecer si el punto encontrado es de máximo o de mínimo. Él fue el primero en hacer notar que la investigación de las tangentes a las cur­vas planas equivale a la de los máximos y mínimos de una función con una incóg­nita, y aplicó estas consideraciones a la óptica (1637 aproximadamente), sacando de ello la deducción racional de las leyes de reflexión de la luz, planteando el principio filosófico de la máxima economía de los fenómenos naturales.

Además del cálculo dife­rencial, Fermat trató también con atrevi­miento y originalidad nuevos problemas de cálculo integral desarrollando los descubri­mientos y los métodos de Arquímedes y de Cavalieri e investigando con éxito el área de parábolas e hipérbolas de grado superior, y de otras curvas, como resulta de las car­tas que escribió en su tardío período de 1659-1661. Es menester, en fin, señalar el hecho de que las obras de Fermat contienen también indicaciones o cuestiones acerca de los juegos, de lo cual muy pronto se había de desarrollar el «cálculo de probabili­dades».

U. Forti