[Methodus fluxionum et seriarum infinitarum]. Obra de Isaac Newton (1642-1727), compuesta con fines didácticos, en 1671, a instancias de su maestro y amigo Isaac Barrow, que — a lo que parece — quería hacerla imprimir como apéndice a la traducción latina del tratado de álgebra de un holandés llamado Kuckhuysen.
Pero como aquel proyecto no fue realizado, el trabajo permaneció inédito hasta 1736. Forma parte de un grupo de importantes escritos, los cuales contienen las contribuciones de Newton a la constitución del cálculo infinitesimal, escritos que, junto con ciertos trozos de los Principios matemáticos (v.), comprenden la memoria Analysis per aequationes numero terminorum infinitas (1666) y otra titulada Tractatus de quadratura curvarum (1665-66), además de las hojas publicadas en 1712 con el título Método diferencial y algunas cartas, entre las cuales son particularmente importantes las escritas a Leibniz (13 de junio y 24 de agosto de 1676), y a Wallis (27 de agosto y 7 de septiembre de 1692). La contribución al análisis infinitesimal, que aquí consideramos, no puede ser entendida sin una breve referencia a la polémica de prioridad que se desarrolló entre el mismo Newton y Leibniz. Hoy, sin embargo, es necesario reconocer que no hicieron sino llevar a término una dirección del pensamiento matemático ya antiguamente seguida por Eudoxio y Arquímedes, y entonces recientemente llevada a mayor desarrollo por obra de Cavalieri, Torricelli, Wallis, Fermat y Kepler.
Newton (como Leibniz) tuvo el mérito de indicar un constante procedimiento de cálculo que, por medio de las dos operaciones de la diferenciación y la integración, permitía resolver muchas cuestiones de álgebra, de geometría y de física, cuestiones de las que no son sino ejemplos particulares los clásicos problemas que absorbían la atención de los contemporáneos, relativos a la investigación de los máximos y mínimos, de las tangentes, de las áreas y volúmenes. Newton y Leibniz explicaron también la relación entre las operaciones con integrales y diferenciales, y enseñaron a realizar unas y otras con un mecanismo constante en los casos más sencillos. Cierto es que de los métodos sustancialmente equivalentes — llamado uno de las «fluxiones» y el otro de los «diferenciales» —, el segundo, el de Leibniz, se acercó mucho más al fin propuesto, que era precisamente el de un mayor esquematismo y sencillez en la solución de los problemas. Y esto lo consiguió principalmente gracias a la introducción de un adecuado simbolismo en que figuran también los conocidos signos de integral y de diferencial, debidos a Leibniz; mientras que, por el contrario, los procedimientos de Newton, más complicados, no se prestaban al uso común, de manera que éste no aplicó el método de las fluxiones, expuesto en el escrito a que nos referimos, en sus célebres Principios, donde todas las investigaciones en que interviene el infinito son, en cambio, llevadas a cabo con el método de límites fundado en el dilema: «Si la diferencia de dos cantidades se hace, en un tiempo finito, menor que otra cualquiera pequeña cantidad, a voluntad, las dos cantidades dadas acaban por convertirse en iguales entre sí».
El propio Newton reconoce que este método es el mismo usado por Cavalieri en su Geometría de los indivisibles. El Método de las fluxiones contiene cuanto Newton había publicado en la memoria Analysis per aequationes etc., antes citada. Mediante desarrollos en serie de funciones (obtenidos generalizando los procedimientos usados en aritmética para realizar la división o extraer la raíz cuadrada) consigue calcular el área de la hipérbola o del círculo. Al mismo método recurre también para la rectificación de la circunferencia. Estos desarrollos en serie son las premisas de que Newton se sirve en el curso de su escrito, que comprende conceptos nuevos no publicados todavía en el opúsculo de 1666. Ahora, él, en efecto, define las «fluxiones» y las «fluentes» (las derivadas y las integrales, podríamos decir, usando el lenguaje moderno) y enuncia los dos problemas inversos (y fundamentales para el cálculo infinitesimal) de su búsqueda. dando ya algunas reglas importantes de cálculo. Finalmente pasa a aplicar el nuevo método de las fluxiones a la resolución de problemas clásicos: investigación de los valores máximos y mínimos de las funciones de una variable, construcción de las tangentes a una curva de determinada ecuación, medida de las «curvaturas», investigación de- los puntos de inflexión, las áreas y las longitudes de determinadas ramas de curvas, incluyendo todas las curvas especiales conocidas en aquel tiempo.
En cuanto a los máximos y mínimos, él no señala todavía un criterio para distinguir unos de otros, criterio que aparecerá, en cambio, en las Obras matemáticas (v.) de Fermat. Newton—a diferencia de Leibniz— no introduce un simbolismo nuevo adaptado a sus fines, como lo hace, en cambio, en su Tratado sobre la cuadratura de las curvas, complemento de la precedente memoria, que no fue editado hasta 1704 en apéndice a Su óptica. En este tratado resultan mejor aclarados los precedentes conceptos de Newton que acabamos de exponer: Newton comienza considerando todas las curvas como generadas por el movimiento de un punto. La velocidad del movimiento del punto es la «fluxión» (o derivada) del arco de la curva descrito por el punto, y, recíprocamente, el arco es la «fluente» (integral) de la velocidad. Llega después al teorema fundamental que establece la «fluxión» (derivada) de xn siendo n entero y positivo. El método no es sustancialmente diverso del seguido todavía hoy en los tratados comunes de cálculo, y está fundado sobre la célebre fórmula del binomio llamado precisamente de Newton. A diferencia de los actuales, los símbolos empleados por Newton para las derivadas sucesivas no son x\ x”, x’”… sino x‘, x”, x”\.. Observemos que, en este escrito, Newton nota explícitamente el parentesco entre su «método de las fluxiones» y el de los «indivisibles» de Cavalieri.
U. Forti