[Voobra aesnaja geometrija]. Obra del matemático ruso Nikolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856), publicada en ruso en los anales científicos de la Universidad de Kazán, en 1835, y, poco después (1837), con algunas leves modificaciones, en fran­cés, en el «Journal» de Crelle. Lobacevskij debe ser considerado, con el alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y con el hún­garo János Bolyai (1802-1860), como uno de los fundadores de la geometría hiperbó­lica. Se debe a Lobacevskij la distinción entre rectas complanares, no secantes, y rectas paralelas. Todas las rectas de un haz de centro P se distinguen, respecto a una recta r que no corresponde al haz, en dos categorías: rectas que encuentran a la r y rectas que no la encuentran (rectas no secantes a la r); estas últimas están separadas de las primeras por dos rectas (no secantes) Si y Sz correspondientes al propio haz; a estas líneas llama Lobacevs­kij rectas paralelas a la r. En la hipótesis de que sea válido el quinto postulado de Euclides, estas dos paralelas están superpuestas; en caso contrario (geometría hi­perbólica), éstas son distintas, y por el punto P pasan dos paralelas a la r. Lo­bacevskij distingue, para cada una de las dos paralelas, el «sentido de paralelismo»; seguidamente define el «ángulo de parale­lismo» como el ángulo que la perpendicular sobre P a la r forma con cada una de las dos paralelas.

Partiendo de estas premisas, Lobacevskij construye todo su edificio geo­métrico; pero la parte más importante de su trabajo es aquella en que establece la nueva trigonometría. Para llegar a ésta introduce el círculo de radio infinito y la esfera de radio infinito, llegando después a demostrar que para esta última es válida la geometría euclidiana y que vale en par­ticular la ordinaria trigonometría plana. Los primeros estudios de Lobacevskij sobre este punto se remontan a 1828, en la obra Sobre los principios de la Geometría [Ob osnovach geometrij], publicada en ruso en el «Men­sajero de Kazán», 1829 y 1830; luego se concretaron en la que el autor denominó Geometría imaginaria (Geometrie imaginaire, «Journal» de Crelle, vol. 17 (1837), pági­nas 295-320) y que ahora llamamos Geome­tría hiperbólica. Los escritos más importan­tes de Lobacevskij sobre este punto son: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (Berlín, 1840) y Pangéométrie ou Précis de geometrie, fondée sur une théorie générale et rigoureuse des paralléres (Kazán, 1856). Los resultados del primero de estos trabajos fueron expuestos en italiano, con métodos diferentes de los de Lobacevskij, por G. Battaglini, en «Giornale di Matematiche», vol. V, págs. 217- 231 (1867); el otro fue traducido también por Battaglini en «Giornale de Matemati­che», vol. V, págs. 273-336 (1867).

A. Procissi