Investigaciones Sobre Las Funciones Elípticas, Niels Henrik Abel

Indicamos con este título no sólo las Recherches sur les fonctions eliptiques, publicadas por el mate­mático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) en el «Journal» de Crelle de 1827-28, sino también el resto de las memorias y notas sobre las funciones elípticas que el propio Abel publicó en el mismo «Journal» en 1829 y en el «Astronomische Nachrichten» de 1828 y 1829, y que fueron publicadas después de su muerte por la Academia de Ciencias de París, en el tomo VII de las «Memorias de científicos extranjeros» (1841) y por B. Holmboe en el tomo II de las Oeuvres Completes de N. H. Abel (Cristianía, 1839). Las Investigaciones sobre las funciones elípticas, se hallan también en las Oeuvres completes, publicadas a expensas del Estado noruego por L. Sylow y S. Lie (Cristianía, 1881): tomo I, que contiene las memorias publicadas por Abel; tomo II, que comprende las memorias póstumas. Abel se ocupó en particular de las funciones elípti­cas desde el punto de vista de la teoría de las ecuaciones de forma algébrica, porque la cuestión que preocupaba al joven matemático era la posibilidad de resolver algu­nos tipos de ecuaciones algebraicas. Después de haber demostrado que no es posible re­solver algebraicamente una ecuación gene­ral de grado superior al cuarto, sin excluir, no obstante, la posibilidad de que existan ecuaciones especiales solubles, busca la po­sibilidad de expresar, con funciones conoci­das, una integral dada, llegando así a su famoso teorema aplicable al cálculo de la suma de cierto número de integrales de una misma función, pero entre diferentes límites, siendo estos límites las raíces de una ecuación algébrica. La suma de estas integrales se expresa en función de las constantes que aparecen en las funciones de la integral y en la ecuación. El inverso del integral de la función, es una función transcendente. Los transcendentes superio­res, múltiplemente periódicos, tomaron lue­go el nombre de funciones abelianas. Abel estableció también las propiedades de estas funciones elípticas, y entre ellas su doble periodicidad, y dio las fórmulas de adición, multiplicación y división para la transfor­mación de las funciones elípticas.

O. Bertoli