Indicamos con este título no sólo las Recherches sur les fonctions eliptiques, publicadas por el matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) en el «Journal» de Crelle de 1827-28, sino también el resto de las memorias y notas sobre las funciones elípticas que el propio Abel publicó en el mismo «Journal» en 1829 y en el «Astronomische Nachrichten» de 1828 y 1829, y que fueron publicadas después de su muerte por la Academia de Ciencias de París, en el tomo VII de las «Memorias de científicos extranjeros» (1841) y por B. Holmboe en el tomo II de las Oeuvres Completes de N. H. Abel (Cristianía, 1839). Las Investigaciones sobre las funciones elípticas, se hallan también en las Oeuvres completes, publicadas a expensas del Estado noruego por L. Sylow y S. Lie (Cristianía, 1881): tomo I, que contiene las memorias publicadas por Abel; tomo II, que comprende las memorias póstumas. Abel se ocupó en particular de las funciones elípticas desde el punto de vista de la teoría de las ecuaciones de forma algébrica, porque la cuestión que preocupaba al joven matemático era la posibilidad de resolver algunos tipos de ecuaciones algebraicas. Después de haber demostrado que no es posible resolver algebraicamente una ecuación general de grado superior al cuarto, sin excluir, no obstante, la posibilidad de que existan ecuaciones especiales solubles, busca la posibilidad de expresar, con funciones conocidas, una integral dada, llegando así a su famoso teorema aplicable al cálculo de la suma de cierto número de integrales de una misma función, pero entre diferentes límites, siendo estos límites las raíces de una ecuación algébrica. La suma de estas integrales se expresa en función de las constantes que aparecen en las funciones de la integral y en la ecuación. El inverso del integral de la función, es una función transcendente. Los transcendentes superiores, múltiplemente periódicos, tomaron luego el nombre de funciones abelianas. Abel estableció también las propiedades de estas funciones elípticas, y entre ellas su doble periodicidad, y dio las fórmulas de adición, multiplicación y división para la transformación de las funciones elípticas.
O. Bertoli