Obra del matemático húngaro János Bolyai (1802-1860), capitán de ingenieros en el ejército austríaco, al que ha de considerarse, junto a Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y a Nicolás Ivanovic Lobačevskij (1793-1856), como a uno de los fundadores de la geometría no euclidiana.
Sus investigaciones sobre este asunto están expuestas con rigor en el Apéndice (v.). János Bolyai publicó este escrito como apéndice al primer volumen del Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentisque huic propria introducendi, Maros Vásárhely, 1832, páginas 567-590, de su padre Wolfgang (Farkas) (1775-1856). El opúsculo fue traducido al francés por Friedrich Schmidt (París, Gauthier-Villars, 1868) y al italiano por G. Battaglini («Giornale di Matematica», volumen 6.° (1868), pp. 97-115. F. Engel y Pane Stackel hicieron una versión alemana en su «Urkunden zur Geschichte der Nichteuklidischen Geometrie» (vol. 2.°, part. II, Leipzig, Teubner, 1913, pág. 203-216). Bolyai somete a un agudo análisis las proposiciones de la Geometría, poniendo en evidencia las que no dependen del quinto postulado de Euclides (al que Bolyai, siguiendo a algunos editores de Euclides, llama axioma XI). Estas proposiciones son para Bolyai «absolutamente verdaderas» y corresponden a la «ciencia absoluta» del espacio; por vía diferente a la seguida por Lobačevskij llega Bolyai a construir las fórmulas trigonométricas de la nueva Geometría, y a demostrar que la trigonometría esférica es independiente del 5.° postulado.
En fin, en la hipótesis de la falsedad de tal postulado, Bolyai llega a dar una construcción rigurosa para los problemas de la cuadratura del círculo. Forti A., En tomo a la vida y a los escritos de Wolfang y János Bolyai di Bolya, matemáticos húngaros, «Bullettino de Bibliografía e Storia delle Scienze Matematiche Fisiche», de Boncompagni, tomo I, Roma, 1868, págs. 277-299; R. Bonola, La Geometría no euclideana. Exposición histórico crítica de su desarrollo (Bolonia, 1906, págs. 86- 104) y Sobre la teoría de las paralelas y sobre la geometría no euclidiana, en. «Questioni riguardanti le matematiche elementan», selección de Federico Enriques, parte I, volumen 2.°, Bolonia, 1952, páginas 328-330; G. Fano, Geom. no-euclidiana (Bolonia, 1935, págs. 22-24).
A. Procissi