[Opere di Ferraris]. Las obras de Galileo Ferraris (1847-1897) las publicó la Asociación Electrotécnica Italiana (Milán, vol. I, 1902, págs. XXIII-492; vol. II, 1903, págs. VI-473; vol. II, 1904, págs. VI- 367, en 4.°).

El primer tomo contiene el retrato del autor (fotograbado Fusetti de fotografía Gibson, Chicago, con reproducción de la firma autógrafa de Galileo Ferraris); un ensayo de Guido Grassi sobre las obras de Galileo Ferraris y los siguientes escritos de éste: «Sobre el empleo de las brúju­las ordinarias en las medidas de las intensi­dades galvánicas» (1871); «Sobre la teoría matemática de la propagación de la electri­cidad en los sólidos homogéneos» (tesis doc­toral del autor, leída en Turín en 1872); «De una demostración del principio de Helmholtz sobre el timbre de los sonidos, sacada de algunos experimentos hechos con el telé­fono» (nota a la Academia de Ciencias de Turín, 27 de enero de 1878); «Sobre el telé­fono de Graham Bell» (conferencia en la Sociedad de Ingenieros e Industriales de Turín, 2 de febrero de 1878); «Sobre la in­tensidad de las corrientes eléctricas y de las extracorrientes en el teléfono» (memo­ria de la Academia de Turín, 23 de junio de 1878); «Teoremas sobre la distribución de las corrientes eléctricas constantes» (me­moria a los Lincei, 1 de junio de 1879); «Indagaciones teóricas y experimentales so­bre el generador secundario Gaulard y Gibbs» (memoria a la Academia de Turín, 11 de enero de 1885); «Sobre el método del Dr. Hopkinson para la determinación del coeficiente de rendimiento del generador secundario Gaulard y Gibbs» (nota a la Academia de Turín, 10 de mayo de 1885); «Sobre las diferencias de fase de las co­rrientes, el retraso de la inducción y la pérdida de energía en los transformadores» (memoria a la Academia de Turín, 4 de di­ciembre de 1887); «Resultados de algunas experiencias sobre el transformador Zipernowsky, Déri, Bláthy» (escrito inédito en italiano y del que se publicaron una traduc­ción francesa y otra alemana en Budapest, con fecha 2 de julio de 1885.

La traduc­ción alemana, con algunas variantes, se reprodujo en el número de octubre de 1885 de la «Elektrotechnische Zeitschrift»); «Ro­taciones electrodinámicas . producidas por medio de corrientes alternas» (nota a la Academia de Turín, 18 de marzo de 1888, en la que se anuncian los experimentos sobre el campo magnético rotatorio); «So­bre el ‘método de los tres electrodinamómetros para la medida de la energía per­dida por histéresis y por corrientes de Foucault en un transformador» (nota a la Aca­demia de Turín, 22 de noviembre de 1891); «Un método para tratar los vectores rotan­tes o alternativos y una aplicación del mis­mo a los motores eléctricos de corrientes alternas» (memoria a la Academia de Turín, 3 de diciembre de 1893); «Sobre un motor eléctrico sincrónico de corriente alterna» (nota a la Academia de Turín, 1 de abril de 1894); «Teoría geométrica de los campos vectoriales como introducción al estudio de la electricidad, magnetismo, etc.», precedida por una advertencia de Corrado Segre, de la que resulta que este escrito, encontrado sin título entre los papeles de Ferraris, se redactó hacia 1894-95 como primer capítulo de un tratado de electrotecnia.

En este pri­mer volumen se recogen los escritos origi­nales de electrotecnia, en los que se basa de una manera particular la fama del au­tor. Cada uno de estos escritos merece un profundo examen, especialmente los que se refieren a la teoría de los transformadores de corriente alterna, que es, sin exageración, una conquista completamente nueva de Galileo Ferraris, admirable por su elegancia y rigor. El gran descubrimiento del campo magnético rotatorio tiene sus antecedentes y su verdadera explicación en el largo estu­dio sobre los transformadores de corrientes alternas y las corrientes alternas en gene­ral.

Según Grassi, las primeras pruebas se remontan con toda probabilidad a finales de junio de 1885. La hipótesis no carece de base, puesto que es cierto que en la ilota fundamental sobre las rotaciones electro­dinámicas Ferraris dice que las experien­cias allí descritas se llevaron a cabo en el otoño de 1885, aunque en la relación sobre electrotecnia en la Exposición Univer­sal de 1889 en París, tras decir que expe­rimentó un primer modelo de motor en el otoño de 1885, añade que las experiencias pueden remontarse a algún tiempo atrás.

En la nota sobre las rotaciones electrodi­námicas, el autor, tras describir la teoría y la técnica del campo magnético rotatorio, observa que las experiencias descritas pue­den servir para repetir en una forma nueva las clásicas experiencias de Arago, Bab­bage y Herschel, pero especialmente para poner de relieve las diferencias de fase entre las corrientes primaria y secundaria de un transformador, o las que hay entre las corrientes derivadas alternas, o las que pueden existir entre dos corrientes alternas del mismo período; y que al con­trario, se pueden disponer las cosas de manera que pongan de relieve cómo varían las diferencias de fase al variar las resisten­cias de los circuitos y de sus coeficientes de inducción.

El autor describe un verda­dero motor de campo rotatorio y lo estudia desde el punto de vista de la energía, con­cluyendo que el aparato no podría tener importancia alguna desde el punto de vista industrial. Reconoce, sin embargo, que se pueden estudiar sus dimensiones para au­mentar notablemente su potencia y mejorar mucho su rendimiento. Incluso tal como él lo describe, el aparato puede servir para medir la energía eléctrica de una distri­bución de corriente alterna.

Para compren­der bien el punto de vista de Ferraris, hay que recordar que a la sazón todavía no se había desarrollado la técnica de las corrien­tes alternas y que precisamente comenzaba entonces a ser conocida gracias a los tra­bajos de Ferraris. Pero éste sigue siendo un teórico, a pesar de su gran invento. Sus entusiasmos son para la verdad más que para las aplicaciones. «Quien en sus investi­gaciones no piense más que en las aplica­ciones — dice en la conferencia sobre el teléfono — no encontrará nunca nada, y quien, al juzgar la importancia de un des­cubrimiento, no sepa ver más que la uti­lidad que puede reportar, demostrará no haber gustado nunca el verdadero pla­cer de saber».

El segundo volumen contiene la nota sobre las máquinas de inducción (1876); las cinco conferencias sobre la ilu­minación eléctrica (1879); varias relaciones sobre ferias de muestras, congresos, confe­rencias internacionales; la conferencia so­bre la transmisión eléctrica de la energía,’ dada en los Lincei el 3 de junio de 1894 y la necrología de Luciano Gaulard (1889). El tercero, el tratado sobre las transmisiones teledinámicas de Hirn (tesis para el diplo­ma de ingeniero civil, 1869) y sobre las propiedades cardinales de los instrumentos dióptricos (exposición elemental de la teo­ría de Gauss y sus aplicaciones, 1876); la memoria sobre los anteojos con objetivo compuesto por varias lentes a distancia unas de otras (21 de noviembre de 1880); parte de una carta al profesor R. Lippich de Pra­ga, publicada en el «Repertorium der Physik» del Dr. Exner en abril de 1891; la nota «Sobre un método para la medida del agua arrastrada mecánicamente por el va­por» (11 de diciembre de 1881); el nuevo sistema de distribución eléctrica de la ener­gía, en colaboración con Riccardo Arnó (1896), y las dos conmemoraciones de Felice Chió y Giuseppe Basso (1872-1895).

Los es­critos contenidos en estos dos volúmenes, aunque en general no tienen la importancia de los del primero, son indispensables para quien quiera conocer bien la personalidad del autor, su vasta, sólida y moderna cul­tura en continuo progreso, sus grandes cuali­dades de maestro. Ferraris tiene como po­cos el don de asimilar y profundizar las teo­rías científicas. Desde este punto de vista es una verdadera joya la exposición elemental de la teoría de Gauss sobre las propiedades cardinales de los instrumentos dióptricos. Muchos escritos de estos dos volúmenes tienen también importancia científica y téc­nica, y algunos de ellos completan o des­arrollan los escritos del primer volumen.

De un modo particular hay que subrayar el completo reconocimiento de la importan­cia del motor de campo rotatorio por parte de Ferraris, después del éxito práctico que su invento logró, gracias sobre todo a Ni- cola Tesla. Para conocer bien a Ferraris es necesario consultar el volumen publicado por su familia: Fundamentos científicos de la electrotecnia, bajo los auspicios de la A. E. I. (Turín, 1899). De este volumen existe también una traducción alemana diri­gida por Leo Finzi (Leipzig, 1901). También hay que tener presente el volumen En ho­nor de Galileo Ferraris, en la inauguración de su monumento en Turín, 17 de mayo de 1903 (Turín, 1903).

S. Timpanaro

[Œuvres complètes]. Las publicaciones del matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) son más de 789 y abarcan todas las ramas de las ciencias exactas. Una edición completa fue iniciada por la «Académie des Scien­ces» en 1882.

Cauchy es uno de los hom­bres que más han contribuido al progreso de las matemáticas en Francia. Siguió bri­llantemente los estudios de la «École Poly­technique» y de la «École des Ponts et Chaussées»; en 1809 entró en la administra­ción pública, prestando grandes servicios que fueron justamente apreciados; pero, tres años más tarde, tuvo que dejar su empleo, obligado por sus precarias condiciones de salud y, por consejo de Laplace, que había calibrado todo su valor, se dedicó de lleno a las matemáticas.

Las ideas se acumulaban en tal forma en su mente que, para publi­car los resultados, no siendo suficientes las revistas a su disposición, se puso a publicar una él mismo, titulada «Exercices de ma­thématiques», transformada luego en «Nou­veaux exercices de mathématiques et de physique», en que se resuelven cuestiones pertinentes a todas las ramas de estas cien­cias; de fecha más reciente (1833) es la revista similar «Résumés analytiques», pu­blicada por él en Turin.

Aunque el joven científico permaneciese alejado de la po­lítica, no consiguió salvarse de las consecuencias de los acontecimientos que agita­ron a Francia en la primera mitad del si­glo pasado. Las perturbaciones sufridas por Cauchy en su vida privada (pérdida de la cátedra, destierro, etc.) no fueron capaces de ofuscar su genio, como lo demuestran sus incesantes descubrimientos, los más importantes de los cuales pasamos a señalar.

Apenas salido de la adolescencia, siguiendo un consejo que le dio Lagrange, dirigió su atención al estudio de los poliedros, y muy pronto resolvió negativamente la cuestión, propuesta por Poinsot, de si podían existir poliedros regulares de un número de lados distintos de 4, 6, 8, 12 y 20; en el curso de su investigación sobre este punto dio una importante generalización del teorema de Euler sobre los poliedros.

Prosiguien­do los mismos estudios, en un segundo trabajo determinó las condiciones de igual­dad y semejanza de dos poliedros y resolvió la cuestión esencial de si un poliedro queda individualizado por sus caras. Todos estos resultados han pasado a ocupar un lugar definitivo en los elementos de la geometría, y Legendre los incluyó por primera vez en su Tratado de las funciones elípticas y de las integrales eulerianas (v.).

Así Cauchy, que ganó su celebridad principalmente como analista, empezó a ser conocido universal­mente como geómetra; pero puede observar­se que se había dado a conocer ya en el primer aspecto, pues una elegante solu­ción analítica del problema de Apolonio (círculo tangente a otros tres), que fue publicada en la «Correspondance sur l’École Polytechnique», se difundió tan amplia­mente en Francia que se encuentra en mu­chas obras posteriores.

Aportó una contri­bución de primer orden a la aritmética su­perior, al descubrir la tan buscada solución del siguiente teorema: «Todo número entero es descomponible en n + 2 números poligonales del orden n». Como se trata de una de las proposiciones enunciadas por Fermat, Cauchy se colocó junto a Euler y La­grange, que consiguieron descorrer en parte el velo que recubre tantas páginas de la obra del gran senador tolosano.

Estas in­vestigaciones particulares no impidieron a Cauchy examinar en conjunto el estado del análisis, hasta entonces dominado por Euler, toda la obra del cual se inspira en el con­cepto de la ilimitada generalidad de las fórmulas algebraicas, siendo toda fórmula, según él, válida para todos los valores de las letras que la componen, incluso cuando llevan a conclusiones indiscutiblemente ab­surdas.

Cauchy, rebelándose contra ese prin­cipio irracional, en su Analyse algébrique (1821), escribió lo que sigue: «He tratado de dar a los métodos todo el rigor que se exige en geometría, de modo que no recu­rro nunca a las razones sacadas de la gene­ralidad del álgebra; tales razones, aunque admitidas, sobre todo al pasar de las series convergentes a las series divergentes y de las cantidades reales a las imaginarias, no pueden ser consideradas más que como in­ducciones adecuadas para hacer presentir alguna vez la exactitud y la verdad, pero sin estar muy de acuerdo con la tan decan­tada exactitud de las ciencias matemáticas.

Hay que observar también que tienden a hacer atribuir a las fórmulas algebraicas una extensión indefinida, mientras en reali­dad la mayor parte de dichas fórmulas sólo subsisten bajo ciertas condiciones y para ciertos valores de las cantidades que con­tienen. Al determinar dichas condiciones y dichos valores y fijar de modo preciso el sentido de las notaciones hice desaparecer toda incertidumbre».

Como ve el lector, queda así fijado todo un programa de tra­bajo; el caso que se hizo de Cauchy está ampliamente demostrado en las fases suce­sivas de nuestra ciencia; que la reforma era urgente queda comprobado con mil he­chos, entre los que basta citar la circuns­tancia de que Laplace, apenas tuvo noticia de las ideas de su joven colega, se preci­pitó a verificar si eran convergentes las series con las que en su Tratado de mecá­nica celeste (v.), aplicando las leyes de la gravitación universal, había demostrado la estabilidad del sistema del mundo.

El culto por el rigor, que resulta del fragmento re­ferido, gobierna toda la obra del gran ana­lista y explica la actitud crítica adoptada por él contra Poncelet respecto a la adap­tación a las matemáticas del principio de «continuidad geométrica» como méto­do de demostración. Gran número de obras de Cauchy se refieren a los fundamentos de la teoría de los números imaginarios y su representación geométrica.

Tales estudios lo llevaron, naturalmente, a una de las más amplias e importantes teorías matemáticas: la teoría de las funciones de una variable compleja. El primer trabajo que se refiere a ello es la célebre memoria Sur les inté­grales définies prises entre des limites imaginaires (1825); se lee allí, entre otras cosas, la fórmula que expresa el valor de una función de variable compleja en un punto cualquiera de un campo en el que ella sea continua y finita, mediante los valores que adquiere sobre el contorno de dicho campo.

De ahí surge el hecho inesperado de que una variable compleja es un ente analítico totalmente distinto de una función de va­riable real. No podemos referir todas las importantes consecuencias sacadas por el descubridor de la citada fórmula; lo que no puede callarse es que la obra posterior de Cauchy es en gran parte una consecuen­cia de la memoria de 1825; así pudo deter­minar los valores de muchas integrales de­finidas notables, estudiar las funciones biperiódicas y establecer las bases de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales.

Si más tarde, por falta de tiempo, no pudo mantener el empeño de extender la disci­plina creada por él a las integrales dobles y a las funciones de muchas variables, des­brozó el camino para que sus sucesores llegaran a la meta. El análisis del infinito no impidió a Cauchy ocuparse fructíferamente del álgebra. Ya en 1812 publicó una memoria en la que más tarde fueron revisados elementos esenciales de la teoría de las sustituciones, pero que, desde enton­ces, facilitó a Abel algunos de sus elemen­tos para su demostración de la irresolubilidad algebraica de las ecuaciones de grado superior al cuarto.

El estudio de los conoci­dos métodos de eliminación de Euler y Bézout lo llevó a ocuparse de los deter­minantes (ordinarios y funcionales) y apli­carlos a los sistemas determinados de ecua­ciones lineales e incluso a ciertas ecuaciones de derivados parciales. También las ecua­ciones binomias y las impropiamente lla­madas de Pell, le deben notables perfeccio­namientos.

Nuestro científico, que inició su carrera como ingeniero, nunca se alejó completamente de las aplicaciones de la matemática (se podría incluso encontrar en sus escritos los orígenes y el estímulo para algunos descubrimientos suyos estrictamen­te teóricos). En 1816 la Academia de París propuso como tema para el Gran Premio de Matemáticas «establecer la teoría de la propagación de las ondas en la superficie de un fluido pesado y de una profundidad indefinida»; el premio le fue conferido con toda razón, pues además de resolver com­pletamente la cuestión planteada exten­dió su solución a toda la masa del fluido considerado [Théorie des ondes].

La teoría matemática de la luz le ocupó durante toda la vida; estudió los fenómenos de disper­sión, la doble refracción y finalmente llegó a ecuaciones generales cuya aplicabilidad demostró incluso para el calor. Otra teoría fisicomatemática que fue objeto de amplios y profundos estudios suyos es la del equi­librio y movimiento de las láminas elásti­cas.

Son también numerosísimos sus escri­tos sobre astronomía teórica; lo profundo que era su conocimiento sobre dicha mate­ria queda demostrado con el siguiente episodio: el conocido astrónomo Leverrier presentó al Instituto de Francia, para su publicación, una extensa memoria de me­cánica celeste, sobre la cual se pidió un informe a Cauchy. Éste, asustado por la perspectiva de tener que repetir, para la comprobación, una ingente cantidad de cálculos, inventó un método totalmente nue­vo con objeto de alcanzar el mismo fin, enriqueciendo así la mecánica celeste con un procedimiento de cálculo totalmente nuevo y de notable valor práctico.

Profesor no sólo eminente sino apasionado por la enseñanza, no desdeñó ocuparse de cues­tiones elementales (aun después de haber dejado de ocuparse de la instrucción del hijo de Carlos X); como prueba de ello tenemos su memoria «Sobre el modo de evitar errores en los cálculos numéricos». De él poseemos afortunadamente algunos tratados considerados hoy como obras clásicas y que vamos a recordar, además del ya citado Analyse algébrique: Traité de calcul différentiel et intégral, Cours d’analyse a l’École Polytechnique, Legons sur les applications du calcul infinitésimal á la géométrie (1816-28).

No pretendemos haber citado todo lo que merecía ser recordado, pero esperamos que se nos perdonen las lagunas, en consideración a la enorme am­plitud del campo que se extendía ante nosotros. Añadamos que Cauchy, hombre de firme fe religiosa, dio en un Instituto cató­lico francés una docta conferencia Sobre algunos prejuicios de poetas y literatos con­tra los físicos y geómetras, en la que refutó especialmente la afirmación, a menudo re­petida, de que las ciencias exactas e incluso las ciencias naturales y la medicina resecan la mente y el corazón.

Y, como para confir­mar este aserto, se prodigó en la fundación y administración de institutos de educa­ción y beneficencia; de modo que su nom­bre es ampliamente conocido y está rodeado de profunda admiración incluso fuera del mundo científico, sobre el que arrojó una luz tan abundante.

G. Loria

[Opera omnia]. Las obras del gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) constituyen por su nú­mero, volumen e importancia, uno de los mayores monumentos científicos del siglo XVIII. Son una veintena de tratados y un centenar de memorias publicados en gran parte en los «Comentarios de la Academia de San Petersburgo» o en las «Memorias de la Academia de Berlín».

Reimpresas en va­rias épocas, está en curso de publicación una edición completa, Opera omnia (Leipzig, 1915 y siguientes), preparada por F. Rudio, A. Krezer y P. Stáckel. Encontramos en estas obras las primeras memorias acerca de las integrales definidas, la integración de ‘ las ecuaciones de orden superior, la balís­tica, la teoría de los isoperímetros, publi­cadas por el eximio científico en varios pe­riódicos franceses y alemanes.

Una de las primeras obras es la Mechanica (San Pe­tersburgo, 1736), desarrollada después en un Traité complet de mécanique en que los principios de la ciencia son tratados por pri­mera vez con método analítico; a la misma época remontan sus importantísimas memo­rias sobre las tautócronas, las braquistócronas, las trayectorias, las series, etc. Fi­gura entre ellas además: la Théorie nouvelle de la lumiére (1746) en la que observa algunas contradicciones de la teoría emisionista de Newton, se declara en favor de la concepción ondulatoria y proporciona a esta teoría preciosos desarrollos matemá­ticos.

Pero sus máximas investigaciones y descubrimientos se hallan en sus escritos Methodus invéniendi lineas curvas maximi minimive proprietate guadentes (Lausana, 1744), Introducción al análisis infinitesimal (v.), Institutiones calculi differentialis (Ber­lín, 1755) e Instituciones de cálculo integral (v.). Precisamente en estos escritos fue donde él dio una solución general a los problemas isoperimétricos y donde expuso la teoría de los llamados «integrales eulerianos». Imaginó la identificación de las funciones circulares y de las exponenciales; aportó perfeccionamientos al estudio de las series y al de las funciones elípticas, señaló que un arco de hipérbola puede ser comparado a la suma de dos arcos de elipse.

Dio las ecuaciones diferenciales del movi­miento de un cuerpo libre sometido a la acción de fuerzas cualesquiera, y profun­dizó en la teoría de la rotación de un cuer­po sólido alrededor de un punto fijo. En geometría estudió el problema del círculo tangente a tres círculos dados, halló la construcción de los ejes de una elipse defi­nida por dos diámetros conjugados, y varias soluciones del problema de la esfera tan­gente a cuatro esferas dadas.

Introdujo en las fórmulas trigonométricas las abrevia­ciones hoy en uso, y en geometría analítica se puede decir que operó una transforma­ción radical; a él se deben: la discusión general de la ecuación de segundo grado con tres variables; las fórmulas de trans­formación de las coordenadas en el espacio; la definición de los focos de las cónicas como se da todavía hoy; la teoría completa de las curvas geométricas, su clasificación en órdenes, clases y géneros. Son importan­tes también sus memorias acerca de la teo­ría de los números donde demuestra varios teoremas enunciados por Fermat.

En cam­bio pertenecen a la mecánica celeste (de la que se nos muestra como uno de sus fundadores) la Theoria motuum planetarum (1744) y la Theoria motus lunae (1753). Simplificó el cálculo de las perturbaciones planetarias, reduciéndolo al problema de los tres cuerpos, que se hizo clásico después de él: tres cuerpos lanzados al espacio se atraen según las leyes de Newton; hallar las órbitas descritas por ellos es determinar las diversas particularidades del movimien­to.

En cuanto a la luna él considera su movimiento como debido a tres fuerzas y estableció así las ecuaciones generales del problema que había de ser luego resuelto completamente por su discípulo Johann Bernouilli. Muy notables son también sus Car­tas a una princesa alemana (v.) en que el gran matemático se revela también como placentero y genial divulgador, comparable a su contemporáneo Fontenelle, autor de las Conversaciones sobre la pluralidad de los mundos habitados (v.). En estas cartas, que alcanzaron varias ediciones, se propuso, entre otras cosas, ofrecer interpretaciones físicas concretas de algunos célebres con­ceptos de Leibniz.

Entre 1768 y 1771 vieron la luz su investigación de óptica con el tí­tulo de Dióptrica, en tres gruesos volúme­nes, un tratado de álgebra y su Nueva teo­ría de la luna, con otros escritos de astro­nomía. Los últimos años de su vida estu­vieron dedicados al estudio de la hidro­dinámica. Fueron muchísimas sus demás obras, todas las cuales se distinguen por su claridad expositiva, su profundidad de in­tuición y su genialidad metódica, y abrazan los más diversos campos de la ciencia y de la filosofía, adelantándose a veces a las más audaces opiniones de la ciencia mo­derna.

U. Forti