Tratado en dos libros relativo a los cuerpos limitados por superficies planas y no planas. Obra fundamental de estereometría, puede ser considerada como la continuación de los Elementos (v.) de Euclides. Pero Arquímedes introduce nuevos conceptos (como, por ejemplo, el de la concavidad de una parte) y sienta nuevos postulados de capital importancia, como por ejemplo la famosa afirmación de que una recta señala el mínimo camino entre dos puntos.
Remitiéndose a las proposiciones de Eudoxio sobre las relaciones entre las figuras sólidas (el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma que tiene igual base e igual altura, y el del cono la tercera parte del cilindro que tiene igual base e igual altura). Arquímedes logra determinar los enunciados fundamentales que relacionan la esfera con el cilindro y el cono, entre los cuales los más importantes son: la superficie de la esfera viene dada por el cuádruplo de su círculo máximo; el volumen de la esfera es igual al de un cono que tenga por base su superficie y por altura su radio; respecto a un cilindro que tenga por base el círculo máximo de una esfera y por altura su diámetro, el volumen y la superficie de esta esfera corresponden respectivamente a los dos tercios del volumen y de la superficie total del cilindro. Además son tomados aquí en consideración el sector y el segmento esférico.
Las demostraciones de los enunciados precedentes, que se basan en la consideración de figuras inscritas y circunscritas en la esfera, tienen una gran importancia desde el punto de vista lógico y matemático, en cuanto conducen al famoso método exhaustivo, sustituido después por el moderno método de integración (libro I). Son luego estudiados problemas de primero, segundo y tercer grado que el autor resuelve basándose en las proposiciones enunciadas en el libro I y mediante la introducción de otras. Señalaremos entre estos problemas el cálculo de una esfera equivalente a un cono dado o a un cilindro dado; la investigación de un segmento esférico semejante a otros y equivalente a un tercero. Finalmente es enunciado el teorema: la semiesfera representa el volumen máximo entre todos los segmentos esféricos de igual superficie (Libro III). Esta obra, por dar pie a una innovación fundamental, tanto en los métodos de investigación como en los conceptos geométricos, constituyó una base importantísima, y ejerció gran influencia en las ciencias matemáticas y geométricas.
O. Bertoli