De la Esfera y del Cilindro, Arquímedes

Tratado en dos libros relativo a los cuerpos limitados por superfi­cies planas y no planas. Obra fundamental de estereometría, puede ser considerada como la continuación de los Elementos (v.) de Euclides. Pero Arquímedes introduce nuevos conceptos (como, por ejemplo, el de la concavidad de una parte) y sienta nuevos postulados de capital importancia, como por ejemplo la famosa afirmación de que una recta señala el mínimo camino entre dos puntos.

Remitiéndose a las pro­posiciones de Eudoxio sobre las relaciones entre las figuras sólidas (el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un pris­ma que tiene igual base e igual altura, y el del cono la tercera parte del cilindro que tiene igual base e igual altura). Ar­químedes logra determinar los enunciados fundamentales que relacionan la esfera con el cilindro y el cono, entre los cuales los más importantes son: la superficie de la esfera viene dada por el cuádruplo de su círculo máximo; el volumen de la esfera es igual al de un cono que tenga por base su superficie y por altura su radio; respec­to a un cilindro que tenga por base el círculo máximo de una esfera y por altura su diámetro, el volumen y la superficie de esta esfera corresponden respectivamente a los dos tercios del volumen y de la super­ficie total del cilindro. Además son tomados aquí en consideración el sector y el seg­mento esférico.

Las demostraciones de los enunciados precedentes, que se basan en la consideración de figuras inscritas y cir­cunscritas en la esfera, tienen una gran importancia desde el punto de vista lógico y matemático, en cuanto conducen al famo­so método exhaustivo, sustituido después por el moderno método de integración (libro I). Son luego estudiados problemas de prime­ro, segundo y tercer grado que el autor resuelve basándose en las proposiciones enunciadas en el libro I y mediante la introducción de otras. Señalaremos entre estos problemas el cálculo de una esfera equivalente a un cono dado o a un cilin­dro dado; la investigación de un segmento esférico semejante a otros y equivalente a un tercero. Finalmente es enunciado el teorema: la semiesfera representa el volu­men máximo entre todos los segmentos es­féricos de igual superficie (Libro III). Esta obra, por dar pie a una innovación fun­damental, tanto en los métodos de inves­tigación como en los conceptos geométri­cos, constituyó una base importantísima, y ejerció gran influencia en las ciencias matemáticas y geométricas.

O. Bertoli