[Gesammelte mathematische Werke. Wissenschaftlicher Nachlass]. Las memorias científicas del gran matemático alemán George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) frieron recopila­das y publicadas después de su muerte en Leipzig en 1876.

Riemann aparece en el mundo en la época en que, bajo el irresis­tible impulso de Gauss, el «princeps mathematicorum», alemania, gracias a Jacobi, Lejeune – Dirichlet, Eisenstein, etc., estaba en trance de conquistar la preeminencia en el análisis que había de conservar durante todo el siglo XIX. Riemann, que en Gotinga y en Berlín tuvo a aquéllos como maes­tros, no tardó en mostrarse como digno dis­cípulo suyo, para colocarse más tarde a su nivel. Que sucedió así queda demostrado por el conjunto de sus obras, que en poco más de quinientas páginas le colocan al lado de Euler y de Cauchy, autores de volúme­nes imponentes.

Esta limitada extensión de las obras de un genio indiscutible, se explica por el hecho de que Riemann no entregaba a la imprenta ningún escrito que no fuese considerado por él como perfecto, no sólo en su contenido, sino también en la forma (estilo y cálculos). Su actividad científica se inicia con la disertación doctoral pre­sentada en 1851 en la Facultad filosófica de Gotinga sobre los «Fundamentos de una teoría general de las funciones de una va­riable compleja» (Werke, n. I); título ple­namente justificado por cuanto se esta­blecen en ella las bases definitivas de una gran teoría que desde hace un siglo es ob­jeto de estudios importantísimos por una pléyade de matemáticos.

Puede observarse razonablemente que las definiciones y teo­remas que allí se leen se han hecho tan familiares a los matemáticos de todos los niveles, que al leer la disertación no se puede evitar una sensación de asombro, al enterarse de que tanto unas como otros per­manecieron desconocidos hasta hace un si­glo, de modo que para juzgar de la gran­deza del autor hay que recordar la genial observación de E. Renán, según el cual la máxima aspiración de un pensador ha de ser que sus ideas se difundan de tal modo, en extensión y profundidad, por todo el mundo, que pierdan toda huella de su ori­gen. Partiendo de la representación de los números complejos y de su función sobre los puntos de un plano, Riemann estableció las condiciones de homogeneidad de una función de variable compleja, para pasar luego a extender la noción de integral de­finida.

Estas consideraciones conducen ya a originales e importantes conclusiones; pero ya entonces se presentaban otras a la mirada sagaz del joven matemático, como resulta de algunas frases con las que termina su obra. Con ésta se relaciona, en cuanto al contenido, una extensa memoria (n. VI) que tal vez pueda considerarse como la más importante de todas cuantas escribió él: con ella se propone demostrar cómo los principios establecidos por él permiten dar origen a una teoría completa de una nueva clase de funciones, más generales que las elípticas de las que son la natural exten­sión, es decir, aquellas que Abel fue el pri­mero en considerar y de las que descubrió una propiedad fundamental.

Mas para con­seguir el intento no son ya suficientes los principios establecidos por Riemann; en ellos habla casi exclusivamente de funciones de un solo valor, mientras que más tarde in­tentó ocuparse también de las otras. Con tal fin, después de recordar algunas de las nociones precedentes, da a conocer los fun­damentos de una nueva disciplina que más tarde recibió un maravilloso desarrollo, el «analysis situs». Gracias a todo lo expuesto allí (léanse los complementos en la nota póstuma n. XXVIII), se alcanzaron las famosas, «superficies de Riemann», que son planos en varios estratos (fuera más expre­sivo decir «redes» planas, en varios estratos superpuestos y con mallas infinitesimales), que para las funciones de varios valores desempeñan el mismo papel que el plano de Gauss para las de uno solo.

Para cono­cer los orígenes de otros importantes con­ceptos (género, clase), que intervienen hoy en todo el análisis moderno, hay que recu­rrir también a la misma obra; ésta sirve además de base a la teoría de las funcio­nes algebraicas y, en consecuencia, a la moderna teoría de las curvas y de las trans­formaciones algebraicas; tampoco hay que olvidar cuanto se refiere a lo que Riemann, en honor de un venerado maestro suyo, llamó «principio de Dirichlet». Esta amplia sección introductora permitió a Riemann resolver el problema general de «construir una función de una variable compleja, de la que se conozcan suficientes condiciones de límite y las discontinuidades».

En el resto de la memoria se explica cómo de ese modo se consiguen los elementos para cons­truir las buscadas expresiones de las fun­ciones abelianas; pero es imposible resumirla inteligiblemente sin invocar la ayuda de los símbolos; advirtamos sólo que el caso del género p = 3 fue particularmente exami­nado por el autor en un breve escrito póstumo (n. XXX). Sirve de esencial com­plemento a la gran obra, una memoria (n. XI) concerniente a un teorema sobre la anulación de las funciones 0 de varias variables, que sólo aquí quedó demostrado rigurosamente. Estos escritos de Riemann relativos a las funciones abelianas consti­tuyen, en su conjunto, «lo más importante» de las contribuciones aportadas por él a las ciencias exactas; pero no lo «único», como nos disponemos a demostrar empezando con el examen de las relativas al análisis en sus varios aspectos.

Cronológicamente viene en primer lugar la disertación (n. XII) pre­sentada en 1854 para conseguir la habilita­ción a la enseñanza de las matemáticas, pero que hasta mucho más tarde no llegó al dominio público. El tema es la teoría de las series trigonométricas (llamadas tam­bién «de Fourier»). Después de una breve introducción histórica, se trata la tan deba­tida cuestión de la representabilidad de una función, mediante una serie de la especie indicada; en el tratado se reconocieron indi­cios claros de la existencia de funciones continuas carentes de derivada en toda su extensión; ¿es necesario destacar que se trata de la genial anticipación de un revo­lucionario resultado que se alcanzó más tarde? A 1857 pertenece una memoria (n. VI) relativa a la amplia y notable categoría de funciones que Gauss llamó «hipergeométricas», Para estudiarlas se ha­bía recurrido hasta entonces a la ecuación diferencial lineal satisfecha por dichas fun­ciones, o bien a su representación con una integral definida.

Riemann, igual que sus predecesores, apeló al primer artificio, para no servirse de la noción de integral en el campo complejo, que entonces no era fami­liar a todos. Y basándose en los principios expuestos en algunas de sus obras prece­dentes, pudo efectuar un estudio exhaustivo de las funciones en cuestión, con argumen­taciones aplicables a todas las funciones in­tegrales de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Dos años más tarde hizo una memorable aplicación del análisis a un problema de la «Teoría de los Números» (n. VII), es decir, al de la dis­tribución de los números primos en la serie natural de los números enteros.

Con dicho fin recurrió a una función numérica que indicaba con el signo griego £ (la expondre­mos debido al uso que se hace de ella por parte de cuantos intentan descubrir el mis­terio en que sigue envuelta la distribución de los números primos). Esta memoria con­tiene la idea completamente original y fe­cunda de extender a todo el plano la expre­sión de una función que en su origen sólo había sido definida para ciertos valores de la variable. Del nuevo ente analítico resultante, Riemann en parte demostró y en parte enunció algunas importantes propiedades que le condujeron a una expresión asintótica del número de los números primos que caen dentro de un límite determinado.

En una carta a Weierstrass (n. XV) demostró el siguiente teorema general: «No existe ninguna función uniforme de n variables dotada de un período mayor de 2 n». A la época juvenil de Riemann (1847) pertenece un ensayo (n. XIX) de generalización de los conceptos de diferenciación y de in­tegración que, por lo que sabemos, no tuvo continuación, ni por obra de su autor, ni por sus innumerables discípulos y admira­dores. Un breve trabajo (n. XXI) sobre las ecuaciones diferenciales lineales coloca a Riemann entre los primeros cultivadores de una rama de análisis que, en tiempos más próximos a nosotros, tuvo amplio des­arrollo; lo mismo puede decirse respecto a un fragmento (n. XXVII) relativo a las funciones modulares elípticas. Advirtamos por último que un fragmento referente al desarrollo en fracción continua del cociente de dos series hipergeométricas, pudo ocupar un lugar en la colección de las Obras de nuestro autor, gracias (n. XXIII) a. la excelente redacción debida a H. A. Schwarz.

En esta reseña de la producción de Riemami encontramos ahora las obras de tema geométrico. Sus meditaciones sobre tales temas remontan a tiempos anteriores a su doctorado, y tienen por asunto los principios de la geometría. Éste es precisa­mente el tema de una de las tres tesis que presentó para su doctorado, y en aquella ocasión lo desarrolló por voluntad de Gauss, que formaba parte del tribunal. Pero sólo se tuvo noticia de esta contribución cuando, después de su muerte, se publicó el texto (n. XXIII) en las «Memorias de la Aca­demia de Gotinga» (v. Hipótesis sobre las que se basa la geometría). La extremada concisión del texto hizo verdaderamente di­fícil su comprensión, hasta el día en que Helmholtz dio a conocer públicamente ideas análogas.

La originalidad e importancia de las ideas de Riemann queda demostrada por el hecho de que partió del concepto general de espacio lineal con cuantas di­mensiones se quieran (adviértase que hace un siglo se trataba de una idea que era familiar a muy pocos) y se plantea el pro­blema de cómo se le puede caracterizar matemáticamente; inspirándose en el con­cepto que Gauss estableció en la base de su teoría de las superficies, Riemann carac­teriza un espacio mediante la expresión de su elemento lineal. La influencia que esto ejerció fue «de tal volumen, que ni lengua ni pluma pueden describirla»; para dar una idea, nos limitamos a llamar la atención del lector sobre los numerosos capítulos con que, a consecuencia de ello, se ha podido enriquecer la geometría.

Otra teoría geo­métrica a la que Riemann dio una contri­bución de primer orden es la de la superficie de área mínima. En los años 1860-61 consiguió representar analíticamente una superficie de dicha especie; las fórmulas descubiertas por él sirven muy bien para resolver el problema de representar analí­ticamente las que tiene un determinado contorno, cualquiera que sea su constitu­ción.

Comunicó estas fórmulas a un discí­pulo suyo, para que las proveyese de demos­traciones rigurosas; así se originó una im­portante memoria (n. XVII), no publi­cada hasta después de la muerte del autor; desde entonces las nuevas fórmulas ocupa­ron un lugar permanente en la exposición de la materia; cómo han de aplicarse en casos especiales, se sabe gracias a una bre­ve nota póstuma (n. XXVI). La actividad dé Riemann ‘se desarrolló en la época en que los grandes progresos que iba efec­tuando el análisis indujeron a emplearlo en la investigación de los fenómenos físicos.

Nuestro matemático siguió el ejemplo de sus gloriosos maestros, desde que se dispo­nía a conquistar el título doctoral (adviér­tase que anteriormente había frecuentado el Laboratorio de física de la Universidad de Gotinga). Los temas de sus trabajos le fueron sugeridos por las lecturas que incan­sablemente iba haciendo; demuestra su importancia el hecho de que — como indicó F. Klein — su influencia no se ha agotado todavía.

He aquí los títulos de esos traba­jos: «Sobre las leyes de la tensión eléctrica en los cuerpos ponderables, cuando éstos no están considerados como obstáculos de tensión eléctrica de fuerza finita» (n. II); «Sobre la teoría de los anillos coloreados de Nobili» (n. III); «Sobre el transporte de las ondas de área llana de amplitud de oscilación finita» (n. VIII). También per­tenece a la física matemática una carta escrita en italiano a E. Betti (n. XVI) (Riemann pasó varias temporadas en Italia, descansando, en busca de alivio a una en­fermedad incurable que, precisamente en Italia, le condujo a la muerte); se encuen­tra ahí resuelto el problema de encontrar la atracción de un cilindro recto elíptico; un tema análogo es el tratado en un frag­mento póstumo relativo a un anillo elíptico (n. XXIV).

Entre sus obras inéditas se encuentra también una «Nueva teoría de la resistencia en los aparatos de conexión eléctricos» (n. XX) que el autor no quiso publicar nunca debido a algunas objeciones que se le hicieron cuando lo comunicó a la Academia de Gotinga. El conocido volumen de Helmholtz Investigaciones sobre las sen­saciones sonoras (v.) sugirió a Riemann algu­nas observaciones sobre «La mecánica del oído» (n. XVIII); pero, desgraciadamen­te, la muerte le impidió llegar a una con­clusión.

Otro trabajo le fue inspirado por el siguiente tema de concurso, propuesto en 1858 por la Academia de París: «Trouver quel doit être l’état calorifique d’un corps solide homogène indéfini, pour qu’un sys­tème de courbes isothermes, à un instant donné, restent isothermes après un temps quelconque, de telle sorte que la tempera- ture d’un point puisse s’exprimer en fonc­tion du temps et de deux variables indé­pendantes». Riemann contestó en 1861 con una memoria escrita en latín; pero no pudo ser premiada porque los enunciados de las proposiciones componentes no iban acom­pañados de ninguna demostración.

El ma­nuscrito fue retirado en 1868 y publicado (n. XXII) con doctos comentarios por parte del editor; resulta de él que el tra­bajo de Riemann enlaza con sus investigaciones sobre los principios de la geometría. La producción matemática de Riemann es de tal importancia (dijérase que más en masa que en volumen), que podría hacer creer que ella sola absorbió toda una vida que sólo duró cuarenta años. Pero su espí­ritu, similar al de Leibniz (cuyas palabras empleamos) no conseguía saciarse con un solo alimento.

Además de la física, cuyos progresos siguió, y no sólo pasivamente, se interesó activamente por la filosofía, disci­plina que entonces atraía en Gotinga a emi­nentes cultivadores. Bastarían para probarlo sus obras sobre los principios de la geome­tría y el ya recordado fragmento sobre la mecánica del oído. Pero como confirmación indiscutible quedan algunas páginas de sus manuscritos, también publicadas en sus Obras. Tratándose de materiales dispares, escritos en tiempos alejados unos de otros, es vano pretender decidir, como pensaba Riemann, unirlos en un todo orgánico; se sabe sólo, por declaración suya, que en ello hubieran desempeñado un importante papel algunas ideas directrices de sus trabajos matemáticos.

Destinadas las presentes líneas a lectores de todas las especialidades, cree­mos oportuno referir los asuntos de los te­mas tratados para llamar la atención de los cultivadores de la filosofía sobre esta parte, quizás hasta ahora desconocida por ellos, de la obra de este gran pensador: «Sobre la psicología y la metafísica»; «De una relación general entre los sistemas de los conceptos tesis y antítesis»; «Ensayo de una teoría de los fundamentos de la geo­metría y de la física, como base de la ex­plicación de la Naturaleza»; «Mecánica mo­lecular», «Gravitación y luz»; «Movimientos producidos sólo por fenómenos de grave­dad, o sólo por fenómenos luminosos, o por ambos fenómenos»; «Expresión común de las leyes de los movimientos naturales y de la acción de la fuerza de gravedad sobre el movimiento de los cuerpos ponderables»; «Nuevos principios de filosofía natural» (des-? cubiertos el 1.° de marzo de 1853).

No sa­bríamos compendiar mejor la impresión que se recibe contemplando en su conjunto los descubrimientos debidos al sabio a quien está dedicado el presente artículo, que refi­riendo el juicio sintético de otro gran ana­lista de nuestra época, C. Hermite: «La obra de Bernhard Riemann es la más hermosa y grande del análisis de nuestra época; está consagrada por una admiración unánime; dejará en la ciencia una huella indeleble. Los geómetras contemporáneos se inspiran para sus trabajos en sus ideas, y revelan cada día con sus descubrimientos, la importancia y fecundidad de los mismos. El ilus­tre geómetra abrió en el análisis una era completamente nueva que lleva la huella de su genio.» Trad. francesa de las mejores memorias a cargo de L. Lengell (París, 1898).

G. Loria