[Introduzione a d una teoría geométrica delle curve plane]. Memoria de Luigi Cremona (1830-1903), publicada en Bolonia en 1862, incluida en las Opere matematiche, tomo 1, 1914, pp. 313-466. En una célebre memoria escrita en 1854, Steiner expuso, en forma de sencillos enunciados, los funda­mentos de la teoría general de las curvas planas algebraicas. Al transcurrir algunos años sin que estas proposiciones fueran provistas de las demostraciones necesarias, Cremona (que en 1861 ocupaba la cátedra de Geometría superior en la Universidad de Bolonia) sintió el deseo de llenar esta la­guna. Como la materia fue extendiéndose entre sus manos, acabó por escribir la me­moria en cuestión (leída en la Academia de Bolonia el 19 de diciembre de 1861), que constituye una metódica exposición de todo cuanto se sabía entonces acerca del tema; y decimos «todo» porque sus numerosas y exactas citas muestran en el autor un co­nocimiento completo de la materia.

El tra­bajo está dividido en tres secciones. En las primeras páginas de la primera se exponen los principios de la geometría moderna (que entonces no eran todavía del dominio gene­ral), esto es, la teoría de la relación anarmónica (llamada hoy birrelación) y de la proyectividad. Siguen la teoría de los cen­tros armónicos y de las involuciones de grado superior. Se entra después en lo vivo de la materia con la exposición de las no­ciones fundamentales sobre las curvas pla­nas algebraicas, consideradas ya como luga­res geométricos de sus puntos, ya como envolvente de sus tangentes. Llamamos la atención de nuestros lectores acerca del modo de investigar el número de puntos por el que está determinada una curva alge­braica general en su orden; el razonamiento usado por Cremona está fundado en la sus­titución de la curva por un sistema de rectas, concepto atrevido sobre el cual han discutido tanto los defensores del rigor en geometría. Al llegar a este punto, el ilustre autor siente la necesidad de apoyarse en el álgebra, y por esto establece los teoremas (llamados por él «porismos») que equivalen a las ecuaciones de una curva plana en coordenadas trilineales de curvas y de rec­tas, las cuales le autorizan a razonar después sin acudir explícitamente al cálculo alge­braico. Son notables entre los resultados por él obtenidos los teoremas acerca de las intersecciones de dos curvas, y después la generación de éstas mediante haces de curvas de orden inferior, con aplicaciones a las curvas de segundo y tercer orden. Para profundizar ulteriormente la misma teoría sirven admirablemente las curvas polares, cuyas teorías y aplicaciones llenan la segunda sección de la obra.

El autor se sirve de ellas para investigar las propieda­des de los sistemas de curvas, en particular de las rectas; después, para establecer las fórmulas de Plücker, que reúnen las seis características de una curva plana, y, final­mente, para introducir las conocidas curvas covariantes (Hessiana, Steineriana, Cayleyana) de cualquier curva plana. En el curso de su tratado, Cremona hizo de cuando en cuando consideraciones especiales sobre curvas de los primeros órdenes; pero luego le pareció oportuno dedicar una sección es­pecial de su obra (la tercera) a las cúbicas, curvas que gozan de notables propiedades especiales; así, a algunas de ellas se llega considerando la Hessiana y la Cayleyana. Digna de estudio es la configuración cons­tituida por los flexos de una curva del tercer orden; ésta lleva el estudio del haz formado por las cúbicas que tienen los mis­mos flexos; digna de mención es también la propiedad de toda curva de ser Hessiana de tres distintas redes de cónicas. Como comprenderá el lector, la materia tratada es varia y abundante, pero lo que admirará al recorrer el original es el estilo sencillo y diáfano con que escribe Cremona, estilo en el cual la claridad del dictado disimula la profundidad del pensamiento; de manera que, casi a un siglo de distancia, este tra­tado constituye un modelo para todo el que se aplique a escribir sobre materias geo­métricas.

G. Loria