Publicado por primera vez en 1919 en el volumen tercero, páginas 7-32, de las Obras de Evangelista Torricelli (1608-1647), fue escrito en 1646, y en el manuscrito lleva el título Informe sobre algunos problemas propuestos y transmitidos recíprocamente entre los matemáticos de Francia y Torri­celli en los cuatro últimos años. [Racconto di alcuni problemi preposti e passati scambievolmente tra gli Matematici di Francia et il Torricelli ne i quattro anni prossimamente passati]. Fue motivado por un inter­cambio epistolar iniciado en 1643 entre To­rricelli y los matemáticos franceses, y cons­ta de 54 problemas y teoremas.

El autor advierte que, habiendo conocido en 1640, en Roma, al padre Giovanni Francesco Niceron, de los Mínimos, y manteniendo con él relaciones epistolares, creyó más tarde conveniente enviarle estas investigaciones geométricas para que las comunicase a los matemáticos de Francia, donde, sobre todo por causa del carácter altanero del gran matemático De Roberval, habían surgido algunas controversias respecto a la paterni­dad de ciertos teoremas. Entre las varias proposiciones destacan las que se refieren al centro de gravedad de los esferoides y de las secciones, y Torricelli presenta una demostráción suya de carácter general que en­globa y simplifica las muchas y dificilísimas proposiciones propuestas por Luca Valerio. El problema XIII es, históricamente, el más importante, porque se refiere a la famosa disputa con Roberval y los demás matemá­ticos franceses a propósito de la invención de la cicloide, disputa que más tarde tuvo su epílogo en la Carta a los Filaletes, es­crita en 1663 por Timauro Anziale (Carlos Dati). Torricelli declara que él «creía haber sido el primero en demostrar dicho proble­ma XIII; pero me respondió Monsú Roberval que, en cuanto al origen de la figura hacía ya muchos años que se conocía en Francia, aunque no sabía seguro a quién se debía el descubrimiento.

Por otra parte, en cuanto a la demostración, me escribió que él la poseía, y aun antes que yo. Por entonces lo creí; pero ahora, aleccionado por todo lo conseguido en torno al proble­ma L,. me permito creer que no la tenía, y que la tomaba de mis trabajos, como ya hiciera en alguna otra ocasión». En realidad, unos cincuenta años antes (1600), Galileo había ya investigado acerca de la medida de esta curva, pero es a Torricelli a quien co­rresponde la gloria de hallar la solución. El problema número XIV, sobre las propieda­des de un sólido generado por la rotación de una hipérbole alrededor de una asíntota, fue impugnado en un principio por Roberval, aunque luego éste lo aceptó como ver­dadero. El número XV y el número XVI, sobre las secciones del citado sólido, fueron también demostrados por Roberval, pero Torricelli señala que sus demostraciones es­taban ya contenidas en el libro dedicado al príncipe Leopoldo (De Dimensione parabolae solidique hyperbolici, etc., reproducido en sus obras en el volumen I, pág. 191 y sig.). Los números XVII, XVIII, XIX y XX, como los precedentes, examinan problemas geométricos de diversa naturaleza que Torri­celli envió por vez primera a Francia. Los números XXXIV al XL contienen proposi­ciones sobre las espirales, parcialmente ya demostradas por Michel Angelo Ricci, dis­cípulo de Torricelli, y por Roberval. En los problemas XL al L son tratados diversos casos referentes a las hipérbolas.

El L se refiere a los teoremas acerca del centro de gravedad y sobre el eje de la cicloide; en esta ocasión Torricelli »habla de su polémica con Roberval, reivindicando la precedencia de su demostración. Los números LI-LIX re­producen proposiciones sobre las líneas infi­nitas de un paralelógramo, sobre los cuadrados y los cubos; es un teorema inventado y propuesto por Cavalieri, aunque incom­pletamente; Bougrand lo resolvió en sentido general, pero por vía algebraica. El examen de este Informe evidencia la superioridad de Torricelli en comparación con los demás geómetras italianos contemporáneos suyos, sin excluir al propio Galileo ni a Viviani, y exceptuando quizás a Cavalieri, del cual Torricelli supo apreciar cuánto valor y cuán­ta fecundidad se ocultaban en su geometría de los indivisibles, en la que se establecían los fundamentos del cálculo infinitesimal de Newton y de Leibniz. Esta nueva dirección proporcionó una ayuda poderosa a la reso­lución de problemas que continuamente se presentaban a la investigación de los mate­máticos de aquel tiempo, tan rico en mara­villosos descubrimientos.

P. Pagnini