Geometría de los Indivisibles, Bonaventura Cavalieri

[Geometría indivisibilibus contínuorum nova quadam ratione promota]. Tratado de Geo­metría de Bonaventura Cavalieri (1598- 1647), publicada en 1635 y, en forma defi­nitiva, con adiciones y modificaciones, en 1653. Escrita en latín, es la obra más im­portante del célebre matemático milanés, y uno de los más geniales tratados mate­máticos del siglo XVII. En efecto, con ella se inicia el estudio del cálculo diferencial e integral, que tendrá luego en Leibniz y en Newton sus más altos exponentes. La obra consta de siete libros, en el primero de los cuales trata de la intersección de conos y cilindros y algunas proposiciones que sirven para el desarrollo de la mate­ria contenida en el libro segundo. Éste se ocupa de los triángulos y paralelogramos, mientras el tercero está dedicado a los círculos, elipses y cuerpos generados por su rotación.

Los últimos tres libros, están dedicados a la hipérbola, parábola y a los sólidos generados por un movimiento rota­torio. En el sexto, volviendo sobre el pro­blema de la cuadratura de la espiral, ya tra­tado por Arquímedes en la Cuadratura de la parábola (v.), Cavalieri no sólo llega a la solución por distinto camino, sino que aporta un notable complemento al conoci­miento de la curva resolviendo su rectificación, que el gran siracusano había dejado incompleta. Como complemento de su teoría de los indivisibles, Cavalieri escribió los Ejercicios geométricos [Esercitazioni geometriche], que desde algunos puntos de vis­ta, hasta por detalles de desenvolvimiento teórico, deben considerarse como parte integrante de esta obra. La concisión extre­ma en los enunciados y en las demostracio­nes, que hace difícil la lectura de la obra, depende en parte de la dificultad que Ca­valieri encontraba para dar forma precisa a la elevadísima especulación que había intentado. Resulta de ello cierta abstrusidad que hace difícilmente definible el voca­blo «indivisible» y muchos otros conceptos que venían a enfrentarse con la geometría de Euclides y de Arquímedes, hasta enton­ces inatacables.

Fue preciso que Pascal, dándose cuenta de la importancia de la obra, después de haber declarado su plena adhesión a la misma, refutase a los crí­ticos diciendo que la incomprensión del principio de Cavalieri dependía de «leur manque d’intelligence, puisqu’on n’entend pas là, si non la somme d’un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre». En esto consiste precisamente la genial especulación de Cavalieri, que ideó dividir las figuras en un número infinito de secciones infinitamente pequeñas, para poderlas luego sumar a la manera del cálculo integral.

A. Uccelli

La nueva teoría de los indivisibles corre por las manos de los doctos como un mila­gro de ciencia, y gracias a ella ha apren­dido el mundo que los siglos de Arquíme­des y de Euclides fueron los años de in­fancia para la ciencia de nuestra adulta Geometría. (Torricelli)