[Fondamenti di geometría]. Obra de Giuseppe Veronese (1857-1917), publicada en Padua en 1891. Traducida al alemán por Schepp (Leipzig, 1894), ha contribuido al desenvolvimiento de la forma lógica de la geometría, haciendo penetrar más profundamente el concepto de rigor en los fundamentos de la geometría, rigor que el mismo Veronese se esforzó por introducir en los tratados escolares mediante sus Elementos de geometría, escritos en colaboración con P. Gazzaniga (Verona y Padua, 1897). Veronese revisó las definiciones sobre la recta, sobre la congruencia y sobre las paralelas. En la tan discutida definición del ángulo propone definir el ángulo de dos semirrectas como el conjunto de las semirectas situado entre las propuestas; pero tampoco esta definición parece libre de objeciones. En la cuestión de la congruencia y del movimiento, establece un sistema de postulados que señala un progreso con respecto al logrado por Pasch sobre un rigor lógico perfecto. Todos estos postulados de Veronés no implican el de Arquímedes, punto que ha motivado también muchas discusiones, y en las que Veronese intervino con su penetración particular.
A la cuestión de si el postulado de Arquímedes (existe una relación mutua entre las magnitudes que pueden, multiplicándose, sobrepasarse mutuamente) es o no consecuencia de los postulados sobre la congruencia de los segmentos, y del postulado de la continuidad de Cantor (que en realidad no tiene el carácter de sencillez requerido por su postulado), Veronés responde negativamente. Examina después las consecuencias de rechazar el postulado de Arquímedes; y esta parte, llamada Geometría no arquimediana, es una de las más geniales del autor, el cual ha conseguido mostrar la posibilidad de una tal geometría que satisface todos los postulados de la disposición y cuya continuidad no se aplica sino en el sentido restringido de Cantor; lo cual le ha permitir do construir un sistema de números no arquimedianos que disfrutan de las propiedades formales de las operaciones aritméticas sobre el conjunto de los números ordinarios. Veronés también ha intentado edificar una geometría no arquimediana de varias dimensiones y, partiendo de las posibles proyecciones de una recta desde un punto llega a dos sistemas de geometría: uno que considera la recta como línea abierta y otro como línea cerrada.
P. Pagnini