[Gesammelte mathernatische Abhandlungen]. Colección de las obras del matemático alemán publicada en Berlín en 1923-25. Casi todos los escritos contenidos en la colección tra­tan de matemáticas superiores, y, también por las notas que los acompañan, son una contribución inestimable para la historia de la matemática contemporánea. Baste con decir que entre ellas figura la conocida «Me­moria» de 1871 en la que Klein aporta la más satisfactoria y límpida prueba de la «imposibilidad de demostrar» el célebre pos­tulado de Euclides (o de las paralelas), fundándose en los demás postulados de la geometría elemental.

Tal conclusión depende de la «teoría de los grupos» que —jun­to con otros matemáticos de su tiempo — tanto contribuyó Klein a desarrollar. (Llá­mase «grupo» a un conjunto de operaciones tales, que la aplicación sucesiva de dos ope­raciones del conjunto da otra operación del mismo sistema. La distinción entre la geometría euclidiana y los dos tipos de geo­metría no euclidiana, depende — según demuestra Klein — de las particularidades que se atribuyan al «grupo» de los movi­mientos de los cuerpos rígidos). Otro re­sultado fundamental alcanzado por Klein es el que obtuvo estudiando los movimien­tos que sobreponen a sí mismo un poliedro regular: él demuestra que el grupo del icosaedro está en relación con la teoría de las ecuaciones de 5.° grado, y aclara los no­tables procedimientos de resolución de tales ecuaciones, mediante funciones modulares elípticas, debidas a Brioschi, a Hermite y a Kronecker.

El estudio de estas funciones le llevó al problema de construir la fun­ción más general de variable compleja, que vuelve a tomar su propio valor cuando la propia variable se pospone a un grupo con­tinuo de transformaciones lineales, y llega así al estudio de las nuevas «funciones auto- morfas», guiado también por las concep­ciones de Riemann, hasta encontrarse con las investigaciones que sobre el mismo asun­to realizaba entonces el muy joven y toda­vía no célebre Henri Poincaré. En esta obra tienen también lugar los estudios empren­didos por Klein en colaboración con Sophus Lie (publicados en «Math. Annalen», IV, 1871) sobre las curvas de Klein-Lie (o cur­vas W) caracterizadas como las trayectorias de cualquier continuo °= de transforma­ciones proyectivas del plano o del espa­cio. (El nombre de curvas W, proviene de la constancia de la birrelación — «Würf» — entre un punto genérico de la curva, y tres intersecciones de tangentes).

U. Forti