[Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen]. Obra del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866), publicada en 1867, de reducido volumen aunque fundamental para el nuevo edificio de la geometría no euclidiana. Según las modernas concepciones, la geometría clásica no es sino una forma particular de la geometría. El autor aborda aquí el problema del espacio, que no es necesariamente tridimensional como el que nosotros concebimos y es objeto de estudio por parte de la geometría elemental. Cabe imaginar un espacio de dos dimensiones, constituido por superficies curvas. Si el producto de los rayos de curvatura principales es constante y positivo, se obtiene la superficie de la esfera clásica; si el producto es negativo, se producen las superficies que Beltrami llamó pseudoesféricas. En el primer caso, a la línea recta corresponde la geodésica, y desde un punto no puede trazarse una geodésica paralela a otra; en el segundo caso, existe la posibilidad de trazar varias paralelas. Nos hemos habituado a considerar plano a nuestro espacio, aunque no cabe demostrarlo con absoluta certidumbre.
Riemann afirma y demuestra que existen tres espacios de tres dimensiones, que poseen propiedades análogas a las que acabamos de ver para los espacios bidimensionales. El espacio de superficies curvas; que posteriormente recibió la denominación de espacio riemanniano, fue tomado en consideración por los teóricos relativistas, quienes admiten que la curvatura del espacio está dada, en todo punto y en todo instante, por la presencia de la materia.
O. Bertoli