De las Hipótesis sobre las que se Basa la Geometría. Bernhard Riemann

[Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen]. Obra del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866), publicada en 1867, de reducido volumen aunque funda­mental para el nuevo edificio de la geo­metría no euclidiana. Según las modernas concepciones, la geometría clásica no es sino una forma particular de la geometría. El autor aborda aquí el problema del espacio, que no es necesariamente tridimen­sional como el que nosotros concebimos y es objeto de estudio por parte de la geo­metría elemental. Cabe imaginar un espa­cio de dos dimensiones, constituido por su­perficies curvas. Si el producto de los ra­yos de curvatura principales es constante y positivo, se obtiene la superficie de la es­fera clásica; si el producto es negativo, se producen las superficies que Beltrami llamó pseudoesféricas. En el primer caso, a la línea recta corresponde la geodésica, y des­de un punto no puede trazarse una geodé­sica paralela a otra; en el segundo caso, existe la posibilidad de trazar varias pa­ralelas. Nos hemos habituado a considerar plano a nuestro espacio, aunque no cabe demostrarlo con absoluta certidumbre.

Rie­mann afirma y demuestra que existen tres espacios de tres dimensiones, que poseen propiedades análogas a las que acabamos de ver para los espacios bidimensionales. El espacio de superficies curvas; que pos­teriormente recibió la denominación de es­pacio riemanniano, fue tomado en conside­ración por los teóricos relativistas, quienes admiten que la curvatura del espacio está dada, en todo punto y en todo instante, por la presencia de la materia.

O. Bertoli