Los descubrimientos matemáticos efectuados en torno al siglo V a. de C., gracias especialmente a Pitágoras y sus discípulos, fueron indudablemente muy admirados por sus contemporáneos e inmediatos sucesores; el hecho está probado sin lugar a dudas, pues un discípulo de Aristóteles, Eudemo de Rodas, consideró ineludible deber eternizar el recuerdo de quienes los habían efectuado; en consecuencia, han transcurrido casi veinticinco siglos desde que se escribieron las primeras páginas de una rama especial del conocimiento: la historia de las matemáticas. Pero tanto de la obra de Eudemo como de la mayoría de escritos subsiguientes, se ha perdido incluso el recuerdo. Durante siglos y siglos las noticias en torno a quienes se consagran a las ciencias exactas son escasas y fragmentarias y se reducen a informaciones biográficas y bibliográficas de discutible valor. Mas, por lo visto, la utilidad de trabajos orgánicos y completos sobre el tema era sentida por todo el mundo. Lo prueba una carta dirigida a Nicoló Bernouilli por un gentilhombre francés, P. R. de Montmort (1678-1719), en la cual, a propósito de las matemáticas, se leen estas significativas palabras: « ¡Qué placer no se experimentaría viendo el ligamen, la conexión de los métodos, la concatenación de las diversas teorías, empezando en los tiempos más antiguos hasta los nuestros, en que dicha ciencia ha adquirido un nivel tan elevado! Me parece que una obra como esa podría ser en cierto modo la historia del espíritu humano».
G. Loria
* A dicha tácita exhortación de emprender ese trabajo no permaneció insensible un científico francés, Jean-Étienne Montucla (1725-1799), quien, en una monografía sobre la cuadratura del círculo, había dado un ensayo de sus aptitudes de investigación histórica y en 1758 dio a la imprenta dos volúmenes de una Histoire des mathématiques; tuvo un éxito tan rotundo que muy pronto hubo que preparar una nueva edición, que fue publicada en cuatro volúmenes por los años 1799 (VII) y 1802 (X). Debido a la muerte del autor, la publicación fue dirigida por el astrónomo J. Lalande. El tercer y el cuarto volúmenes, antes del frontispicio llevan los retratos de Montucla y de Lalande. El título de la segunda edición es Histoire des mathématiques, dans laquelle on rend compte de leurs progrès dépuis leur origine jusqu’à nos jours; où l’on expose le tableau et le développement des principales découvertes dans toutes les parties des Mathématiques, les contestations qui se sont élevées entre les mathématiciens, et les principaux faits de la vie des plus célèbres. Nouvelle édition, considérablement augmentée, et prolongée jusque vers l’époque actuelle; par Jean-Étienne Montucla, de l’institut national de France, a Paris chez Henri Agasse, libraire, rue des Poitevins, 18. An VII.
Corresponde a Montucla, con pleno derecho, el mérito de ser considerado como el fundador de la historia de las matemáticas, y si por el desarrollo de los estudios históricos y por la crítica de las fuentes otras obras posteriores pueden competir con la suya en exactitud y totalidad de noticias así como por las deficiencias siempre inevitables en dichas investigaciones, ninguna por ahora la iguala por la amplitud de la materia tratada, que comprende muchas aplicaciones de las matemáticas, por la objetividad y serenidad de los juicios, por la elegancia del estilo y sobre todo por el elevado concepto de la función educadora de la historia del espíritu humano. En el prólogo, además del plan de la obra y de la intención educativa, se citan las fuentes, terminando con una reflexión relativa al interés que dichas ciencias deben suscitar en un espíritu filosófico. El primer volumen está dividido en tres partes. La primera parte contiene la historia de las matemáticas hasta la destrucción del Imperio griego y está subdividida en cinco libros, a cada uno de los cuales precede un sumario de los principales temas desarrollados. El primer libro, en un discurso preliminar sobre la naturaleza, las subdivisiones y la utilidad de las matemáticas, se extiende sobre el valor de las diversas escuelas filosóficas, en especial griegas. Los otros tres libros exponen el desarrollo de estas ciencias entre egipcios y caldeos, hindúes, griegos y fenicios; el tercero está dedicado a las escuelas griegas hasta la alejandrina; el cuarto desde ésta a la era cristiana, y el quinto va hasta la caída del Imperio griego, es decir, la decadencia de los estudios matemáticos.
La segunda parte está dividida en cuatro libros. El primero se refiere a los diversos pueblos orientales, árabes, persas y turcos, con un índice alfabético de autores árabes y de sus obras más notables; el segundo se refiere a los judíos antiguos y a los que después de la era cristiana cultivaron las matemáticas, con un índice de los principales escritores y de sus obras. Los demás libros se refieren a los italianos, siameses, malgaches y chinos, con una noticia sobre varias obras, ya de chinos, ya de misioneros jesuitas establecidos en Pekín. La tercera parte contiene la historia de las ciencias matemáticas entre los latinos y los occidentales hasta principios del siglo XVII, y está dividida en cinco libros. El primer volumen termina con un suplemento al libro IV sobre la historia de la gnomónica antigua y moderna y con una nota sobre el fenómeno de la retro- gradación de la sombra en un cuadrante solar. El segundo volumen comprende la cuarta parte y está dividido en nueve libros. Los dos primeros exponen el desarrollo de la geometría y del análisis en el siglo XVII; el tercero contiene la historia de la mecánica hasta mediados del siglo XVII; el cuarto estudia la historia de la óptica hasta la misma época; el quinto, la astronomía en el siglo XVII; el sexto, la geometría y el análisis en la segunda mitad del siglo XVII; el séptimo trata de la mecánica en la segunda mitad del siglo XVII; el octavo, de la óptica, y el noveno, de la astronomía en el mismo período. El segundo volumen de esta famosa obra termina con un suplemento sobre la historia de la navegación hasta principios del siglo XVIII y con un índice alfabético, en verdad no muy exhaustivo, de los nombres y los temas contenidos en los dos primeros volúmenes.
El tercer volumen, completado y publicado por Lalande, está fechado en el año X (mayo 1802) y comprende la parte V, dividida en 4 libros. Fue publicado después del cuarto volumen y es mucho más extenso. En el prólogo, Lalande recuerda los acontecimientos políticos que retrasaron e hicieron difícil su obra de continuador y las modificaciones y adiciones que ha tenido que hacer al manuscrito de Montucla, advirtiendo que a partir del tercer libró ha abandonado el resumen que Montucla hacía preceder a cada libro. Este tercer volumen, que se refiere al siglo XVIII, está dividido en cuatro libros y contiene: en el primero, geometría y análisis; en el segundo, la óptica; en el tercero, la mecánica teórica; en el cuarto, la mecánica aplicada a las máquinas. El cuarto volumen continúa la parte quinta y comprende los libros del V al IX, de los que el V, el VI y el VII tratan de astronomía; el VIII, de los progresos de la navegación, de la construcción de los navíos y del pilotaje. El volumen termina con seis suplementos: sobre el cabrestante para el áncora, sobre la historia de la geografía, sobre la historia de la cuadratura del círculo, sobre la historia de la música, sobre los sentimientos atribuidos a los filósofos antiguos, sobre el cálculo de las derivadas, y termina con un breve discurso sobre la vida y las obras de Montucla y con un índice alfabético, también poco exhaustivo, de los nombres contenidos en los dos últimos volúmenes.
P. Pagnini
* La imparcialidad histórica nos obliga a destacar que, antes de Montucla, un teólogo alemán, profesor de Matemáticas, Johann Christoph Heilbronner (1706-1747), se sintió tentado a escribir una historia de las matemáticas, y presumiendo que bastarían para ello sus propias fuerzas, publicó un grueso volumen (casi 1.000 páginas en 4.°) con el poco modesto título de Historia maúleseos universae a mundo condito ad se- culum P. C. N. XVI praecipuorum mathematicorum vitas, dogmata, scripta et manuscripta, accedit recensio elementorum, compendiorum et operum mathematicorum (Leipzig, 1742). Recurriendo a la fantasía en lugar de basarse en documentos históricos, el autor creyó que podía dar informaciones de los matemáticos que vivieron desde Adán hasta el siglo XVI. Es inútil buscar allí informaciones dignas de fe sobre sus vidas u obras; pero como puede afirmarse que no existe obra de erudición de la que no se pueda extraer alguna noticia útil, advirtamos que en la de Heilbronner hemos encontrado informaciones sobre la existencia de manuscritos de obras importantes conservadas en las principales bibliotecas de Europa.
G. Loria
* Mientras la Histoire des mathématiques de Montucla era escrita, revisada y publicada dos veces, un profesor de la Universidad de Gotinga, ya conocido favorablemente en su patria, Abraham Gotthelf Kástner (1712-1800), se dedicaba a un trabajo similar: La Historia de las matemáticas [Geschichte der Mathematik, seit der Wiederherstellung der Wissenschaften bis an das Ende des achtzehnten Jahrhunderts. I Bd. Arithmetik, Algebra, Elementar-Geometrie, Trigonometrie, Praktische Geometrie (Gotinga, 1795). II Bd. (id, 1797, Perspektive, geometrische Analyse und hóhere Geometrie, Mechanik, Optik, Astronomie (erster Zeitraum). III Bd. (id., 1799), Reine Mathematik, Analyse, Praktische Geometrie bis an Cartesius. IV Bd. (id., 1800), Mechanik, Optik, Astronomie zweiter Zeitraum). Como dice el título, esta obra, igual que su semejante francesa, tiene como programa la totalidad de las disciplinas, puras y aplicadas; al juzgarla en conjunto es preciso tener en cuenta que quedó incompleta por la muerte del autor. Más que un verdadero historiador se manifiesta como matemático y bibliófilo: se muestra bajo el primer aspecto cuando se deja arrastrar por cálculos dotados exclusivamente de un interés doctrinal; bajo el segundo, cuando se entretiene en minuciosas descripciones de ediciones raras. Su indiscutible mérito radica, pues, en su conciencia profesional. Desde las primeras páginas de su obra explica que no basta al historiador hojear una obra, sino que, para juzgarla, debe haberla estudiado antes a fondo; y añade que, en los raros casos en que no es posible examinarla, ha de recurrir a testimonios de indudable confianza, citados exactamente. Por haber sentado, con la palabra y el ejemplo, estas sabias máximas, corresponde a Kástner el lugar de honor entre los defensores del rigor en las investigaciones de historia de las matemáticas. Es, además, mérito suyo haber ofrecido gran cantidad de informaciones exactas y en gran parte desconocidas; sólo es lamentable que la carencia de índice haga difícil la búsqueda.
G. Loria
* Las obras de Montucla y de Kástner, además de dar a conocer gran cantidad de importantes noticias sobre cosas y personas, pusieron en evidencia las innumerables lagunas que su conjunto presentaba; y no hay duda que esta comprobación influyó en el espíritu crítico que surgió en los enciclopedistas franceses y se desarrolló de modo maravilloso con el sol ardiente de la Revolución francesa; al mismo tiempo, el método histórico, que se iba constituyendo y difundiendo, imponía la obligación de investigaciones rigurosamente fiscalizadas, despertando así la aspiración de transformar la historia de las matemáticas en una nueva ciencia exacta. Durante el siglo XIX las investigaciones que interesaban directa o indirectamente la historia de las ciencias exactas fueron numerosísimas y algunas tan importantes que pueden declararse decisivas; las investigaciones filológicas, críticas e históricas sobre el mundo griego pusieron en manos de los estudiosos ediciones plenamente satisfactorias de las obras clásicas; de los asiriobabilonios y de los egipcios, de los indios y de los árabes, se descifraron documentos de la mayor importancia, y así se pudo medir la influencia que estos pueblos ejercieron en el pensamiento matemático europeo; se consiguió incluso conocer algo de las matemáticas de los chinos y japoneses. Además, el método histórico, creado durante el siglo XIX, ejerció una influencia muy saludable sobre la historia de las matemáticas, de modo que ésta alcanzó el nivel de una ciencia exacta; ello condujo a reconstruir desde el principio capítulos enteros de Montucla. Debía, pues, considerarse concluso el reinado de este autor, y se consideró la necesidad de instaurar una nueva monarquía o, para salir de la metáfora, de componer una nueva obra que se aprovechase de los resultados obtenidos gracias a aquellos extensos trabajos y fijase el punto de donde había que partir para nuevas conquistas. A este respecto es necesario tener presente que, durante el siglo pasado, el significado del vocablo «matemáticas» se restringió mucho y acabó uniéndose sólo a la aritmética y la geometría en sus numerosísimas ramas.
G. Loria
* Entre las obras que predominaron en Europa y que merecen ser mencionadas aquí, la primera es el Essai sur l’histoire générale des mathématiques del abate francés Charles Bossut (1730-1814), publicada en París en dos volúmenes (1.a ed., 1802; 2.a ed., 1810). El ensayo es el desarrollo de un artículo destinado al Dictionnaire des sciences mathématiques y se resiente de su origen; debió su éxito a ser, cuando apareció, la única obra del género de dimensiones modestas. Es mucho más apreciable en las traducciones al italiano de G. Fontana (4 vols., Milán, 1802), al inglés de Bonnystle (Londres, 1803) y al alemán de N. Th. Reimer (Hamburgo, 1806).
G. Loria
* Siguió la Histoire des sciences mathématiques en Italie, depuis la renaissance des lettres jusqu’à la fin du XVIIe siècle, obra del matemático italiano Guglielmo Icilio Timoleone Libri (1803-1869), en 4 vols., publicada en París, donde el autor estaba desterrado, en 1838-41. Si es relativamente fácil pronunciar un juicio sobre el valor de una obra científica pasado más de un siglo de su publicación, con respecto a ésta la cosa presenta graves dificultades (aun prescindiendo del hecho de que se trata de un trabajo incompleto), porque muchos no consiguen olvidar las circunstancias personales del autor, juzgado por algunos con compasiva indulgencia y por otros con despiadado rigor. Pero si se consigue vencer ambos sentimientos, se llega a reconocer que la obra, aunque con imperfecciones (¿qué obra humana no las tiene?), es una de las más conspicuas entre las relativas a la historia de las ciencias positivas. El programa desarrollado por ella es más amplio de lo que anuncia el título, hasta el punto de que, una vez leído, se está tentado de borrar de su título el calificativo «mathématiques», puesto que abraza todas las ciencias donde interviene en cualquier sentido el cálculo, la observación o la experiencia, hasta alcanzar y algunas veces comprender la Medicina.
Además, el autor — que disponía de una cultura que pudiera llamarse ilimitada — considera las ciencias como parte integrante de la cultura de un pueblo y no extrañas a lo que constituye su historia, entendida esta palabra en su sentido más amplio; es superfluo destacar que, durante este último siglo, y por efecto de la creciente especialización, ambos criterios directrices fueron abandonados por los escritores de la materia. Hay que tener además presente que sólo durante el siglo posterior a Libri se desarrolló el «método histórico», a cuya aplicación se debió la constitución y el desarrollo de una literatura propiamente dicha sobre la «historia de las ciencias»; pero diríase que Libri merece el título de precursor gracias a la declaración hecha por él de basarse exclusivamente en las fuentes y, en caso de imposibilidad, en textos dignos de indiscutible confianza, y nadie ignora que éste es uno de los puntos fundamentales del método histórico. Pese a sus eminentes dotes, es preciso reconocer que la obra de Libri sufrió un rápido envejecimiento debido a las numerosas contribuciones que posteriormente se hicieron a la historia de las matemáticas; publicáronse muchas obras de grandes pensadores hasta entonces inéditas, mientras ellos y sus trabajos fueron objeto de excelentes trabajos críticos debidos a especialistas de gran fama e incluso a científicos. Hay que tener presente estas circunstancias para no incurrir en críticas injustas. Piénsese, por ejemplo, que Leonardo Fibonacci es conocido en su totalidad sólo después de la edición completa de sus obras debida a Boncompagni, por lo que no es extraño que Libri lamente la pérdida del Liber quadratorum, hoy impreso.
Del mismo modo, Leonardo da Vinci empezó sólo en el presente siglo a ser conocido como gran cultivador de las ciencias. Y si respecto a algunos detalles biográficos y doctrinales concernientes a Galileo no es posible estar de acuerdo con nuestro autor, es preciso tener en cuenta que hasta ahora no estamos en posesión de su correspondencia completa y del informe auténtico del famoso proceso. Y los ejemplos podrían continuarse. Añadamos algún dato relativo al plan general de la obra que examinamos. El vol. I consta de un «Discurso preliminar» en el que se describen las vicisitudes de la cultura en Europa y en Oriente, a partir de los orígenes hasta el renacimiento de las letras y de las artes (respecto a las contribuciones más o menos auténticas sobre China, téngase en cuenta la circunstancia de que hasta hace muy poco no fue iniciada la revisión del juicio demasiado favorable pronunciado en el pasado). El libro I (II vol.) parte de Carlomagno y de los escritos de Leonardo Fibonacci (anterior a Dante) y prosigue enumerando los trabajos efectuados en Italia tanto en el campo científico como (estamos en el período humanístico) en el empeño de volver a hacer accesibles las fuentes griegas y latinas. Toda la primera parte del II libro (III vol.) está dedicada a Leonardo da Vinci; se pasa luego — después de unas consideraciones sobre Cristóbal Colón— al período áureo del álgebra italiana, cuando, gracias a Luca Pacioli, Scipione Ferro, Nicoló Tartaglia y Gerolamo Carda- no, la resolución de las ecuaciones matemáticas llega al límite extremo que es posible alcanzar sin invadir el campo de lo trascendente: en consecuencia, a mediados del siglo XVI el cetro de la cultura pasa de las artes a las ciencias.
Libri se ocupa de los más distinguidos matemáticos del tiempo al principio del libro III (vol. IV), para pasar luego a Galileo. El autor destaca su inmenso valor intrínseco y en relación con Francisco Bacon; es extraño, sin embargo, que no haga mención del otro Bacon (Roger), que vivió tres siglos antes y es indiscutible predecesor de Galileo. Aquí la obra se detiene no por voluntad del autor, sino por las dolorosas vicisitudes de su atribulada vida; dicha interrupción nunca será bastante lamentada, entre otras cosas porque pretendía hacer de toda la obra una traducción italiana revisada y completada, aprovechando las eventuales críticas que se le hicieron en público y en privado. Para una exacta valorización de la obra de Libri hay que hacer mención de las numerosas notas (79), que ocupan casi la mitad de ella y que le aseguran un valor perenne, pues contienen preciosas ilustraciones al texto, sacadas de documentos raros y a veces desconocidos. Puesto que el espacio de que disponemos no nos permite dar la selección completa de los temas tratados, nos limitamos a citar algunos, entre ellos las veintiuna notas dedicadas a Leonardo da Vinci, la indicación de la correspondencia de Percise como preciosa fuente de noticias sobre la época galileana y las numerosas informaciones sobre traducciones latinas de obras árabes. En estas notas, Libri entra en detalles técnicos interesantes, como replicando a la crítica que le fue dirigida de que en el texto de sus volúmenes «dedicados a la historia de las matemáticas» no se encuentra ni una fórmula ni una figura. Sobre el otro reproche de que, insistiendo excesivamente sobre los méritos de los italianos, aunque sea involuntariamente, contribuyó a obscurecer los de los extranjeros, es difícil llegar a una completa absolución para quien recuerde su constante actitud negativa respecto al gran matemático francés F. Viète.
G. Loria
* También es digna de recuerdo la Histoire des Mathématiques depuis leurs origines jusqu’au commencement du dix-neuvième sièçle del químico francés de origen alemán Jean – Chrétien – Ferdinand Hoefer (1811-1878), publicada en Paris en 1874. Como sus demás obras de divulgación científica, entre las que recordamos: Histoire de la chimie (1842-43), Histoire de la physique et de la chimie, depuis les temps les plus reculés (1872), Histoire de la botanique, de la minéralogie et de la géologie (1872), Histoire de la zoologie (1873), etc., también este volumen está escrito en forma bastante sencilla y llana y puede constituir una buena fuente para una primera y elemental orientación en la materia. Después de una introducción sobre el origen de las matemáticas entre los chinos, los indios, los babilonios, los fenicios, los judíos y los egipcios, pasa a un largo tratado de la historia de las matemáticas entre los griegos. Hay que alabar el método de Hoefer, que para cada autor citado reproduce los pasajes y teoremas más característicos. Más bien precipitado es el tratado de los períodos bizantino y árabe, y la exposición de la renovación del álgebra y de la geometría en Italia en los siglos XIII-XIV-XV. Mayor desarrollo se da a los tiempos modernos; pero la obra de los algebristas italianos del siglo XVI no está bastante destacada. También la parte relativa al siglo XVIII es algo insuficiente, dado el grandioso desarrollo que en dicha época recibió la ciencia. Sea como sea, y también respecto a los modernos, la presente obra contiene buenas y numerosas informaciones y aun sin presentar méritos extraordinarios de originalidad, resulta francamente recomendable por la agilidad de la vulgarización y la elegancia del estilo.
A. Procissi
* De más amplias proporciones es la Historia de las matemáticas [Geschichte der mathematischen Wissenschafte; I Th., Von den áltesten Zeiten, bis Ende des XVI. Jahrhunderts (II ed., Zurich, 1873); II Th., Vom Anfange des XVII, bis an das XVIII Jahrhunderts (id., 1875)] del suizo Hermann Suter. Igual que la de Hoefer, es una obra en la que se refleja una época ya periclitada. Hankeln le dirigió graves críticas, especialmente respecto a los capítulos sobre griegos y árabes.
G. Loria
* Hay que recordar igualmente la Historia de las matemáticas de la Antigüedad hasta la Edad Media [Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter] del alemán Hermán Hankel (1839-1873), impresa en Leipzig en 1874. No es una obra orgánica, porque resulta de una serie de excelentes artículos sobre la historia de las matemáticas puras que, después de la muerte del autor, fueron recogidos y publicados por su padre. Dignos de especial mención son los relativos a los griegos y los árabes.
G. Loria
* En 1880 apareció el primer volumen de la importantísima Historia de las matemáticas (v. Lecciones sobre la historia de las matemáticas) de Moritz Cantor (1829-1920). La benéfica influencia ejercida por esta obra sobre la historia de las ciencias en general y en particular de las matemáticas, puede comprobarse con la intensificación de los estudios correspondientes que fue fomentada por la aparición en dicho tiempo, y no sólo en Europa, de revistas especializadas. Se escribieron entonces numerosas y meritorias monografías sobre los más eminentes matemáticos antiguos y modernos, y respecto a los primeros se contó con la colaboración de filólogos (helenistas y orientalistas); al mismo tiempo, sus obras fueron analizadas con arreglo a las normas del método histórico. Científicos eminentes no desdeñaron ocuparse en comentar los descubrimientos de sus predecesores. En este fervor de investigación, mientras por un lado se ofrecían a los estudiosos nuevos y poderosos medios de investigación, crecieron también las exigencias del público ante los autores. Si no podemos extendernos en una reseña completa de lo conseguido, debemos al menos, para terminar, hacer mención sucinta de las obras de carácter general que aparecieron en el período que puede llamarse con razón posteantoriano.
G. Loria
* Una de las obras más conocidas de este período es la Histoire des sciences mathématiques et physiques del francés Maximilien Marie (1819-1891), publicada en París en doce volúmenes, de 1883 a 1888. Representa una vuelta al amplio programa Montucla-Kástner, pues el autor quiere abrazar tanto las matemáticas en sus diversas ramas como la física (al menos en su plan primitivo); de ahí su desigual valor. Si la parte referente a la Antigüedad fue objeto de críticas bien justificadas, el asiduo estudio hecho por el autor sobre las obras posteriores al Renacimiento le permitió dar noticias generalmente poco conocidas y hacer observaciones que no carecen de valor; un invencible rencor personal le llevó a juicios injustos sobre Cauchy. Está dispuesta en orden cronológico de autores y tiene un valor más biográfico que criticohistórico según el desarrollo de las diversas ciencias. Al final de cada volumen hay un índice alfabético de nombres, y otro índice general al final del duodécimo.
Esta historia, aunque poco profunda, tiene sobre las de Montucla y de Cantor la ventaja de ser algo más moderna. El plan dado a la obra, si es un obstáculo para una síntesis del desarrollo de las ciencias y para un análisis comparativo, pone más en evidencia la contribución de cada científico en particular y facilita la investigación del estudioso. La sucesión cronológica es la siguiente: vol. I, griegos y romanos; II, Edad Media, árabes, indios, etc., y europeos hasta el siglo XVI; III y IV, siglo XVII. Con el vol. V se inicia el undécimo período que señala el mayor incremento de las ciencias matemáticas después del período helénico y que el autor trata en los volúmenes V, VI y VII, desde el nacimiento de Newton (1547) hasta el de Euler (1707); el vol. VII se inicia con la conocida discusión entre Newton y Leibniz sobre la precedencia en la invención del cálculo infinitesimal; en este volumen termina el undécimo período y se inicia el duodécimo, que Marie limita del nacimiento de Euler (1707) al de Lagrange (1736); en el vol. IX considera el resto del duodécimo e inicia el trigésimo período, de 1736 a 1768, con Laplace; en el volumen X termina el trigésimo y desarrolla el decimocuarto, de 1749 a 1768, con Fourier; en el vol. XI desarrolla el décimo- quinto, de 1768 al nacimiento de Arago (1780), y el decimosexto, de Arago a Abel (nacido en 1802); en el vol. XII termina el período decimosexto, que acaba a mediados del siglo XIX. Pero tal división en períodos no nos parece que tenga razones intrínsecas suficientes, con excepción del undécimo, con la invención del cálculo infinitesimal, y del último que, para las ciencias físicas, señala una nueva era con los descubrimientos sobre la electricidad y las teorías del calor.
P. Fagnini
* Obra elemental, grata al público por su acertado método de exposición, es la Breve historia de las matemáticas [A Short History of Mathematics] de Walter Wilhelm Rouse Ball, aparecida en Londres en 1887 (4.a ed., 1908).
G. Loria
* Una sucinta exposición de los elementos de la geometría en la Antigüedad y en la Edad Media son también los Elementos de historia de las matemáticas [Forelearning over matematikers Historie. Oltide and middelalder] de Hieronymus Georg Zeuthen (1839-1920), aparecida en Copenhague en 1893 (existen traducciones en francés y en alemán). Se presta mayor atención a los hechos que a las personas; gracias a las consideraciones metodológicas de que está llena, resulta extremadamente útil para la enseñanza. Del mismo autor es también la Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert (Leipzig, 1903). Fruto de profundos estudios sobre las obras originales, se distingue por la neta separación del elemento biográfico de las consideraciones francamente científicas, con decidida preponderancia de éstas; es una obra escrita por un eminente matemático para matemáticos.
G. Loria
* La Geschichte der Mathematik in synthetischer Darstellung (Leipzig, 1.a ed. en dos vols., 1902-1903; Berlín. 2.a ed., 1930, en cinco vols.) de J. Tropfke, más que una verdadera historia, es una colección de monografías históricas sobre los diversos temas que constituyen el programa de la enseñanza secundaria. Sin «embargo, como está amplia y concienzudamente documentada, puede servir como obra de consulta.
G. Loria
* En América son particularmente conocidas: A History of Mathematics (2.a ed., Nueva York, 1919) de Florian Cajeri, y la History of Mathematics [vol. I, General Survey of the History of Elementar Mathematics; vol. II, Specials Topics of elementary Mathematics (Boston, 1923)] de David Eugen Smith. Esta obra se diferencia de sus similares por tres motivos principales. En primer lugar por el plan general, pues en el vol. I, como se declara en el título, se lee una sucinta exposición de las matemáticas puras y elementales desde sus orígenes hasta 1850, que termina con un índice cronológico de los descubrimientos más importantes; el II consta de monografías sobre los siguientes temas: I, Evolución de la aritmética; II, Logística de los números reales; III, Auxiliares mecánicos para los cálculos aritméticos; IV, Números artificiales (fraccionarios, negativos, irracionales); V, Geometría; VI, Álgebra; VII, Problemas elementales; VIII, Trigonometría; IX, Pesos y medidas; X, Cálculos superiores. La segunda característica, que revela que la obra está destinada a la enseñanza, es la presencia, al final de cada párrafo, de problemas históricos que proponer a los estudiantes. Finalmente — también a diferencia de las obras análogas —, ambos volúmenes están ampliamente ilustrados con reproducciones de retratos de eminentes matemáticos, facsímiles de sus manuscritos y frontispicios de obras justamente famosas.
G. Loria
* Una importancia mucho mayor posee el Curso sobre el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX [Vorlesungen über die Entwickelung der Mathematik im 19. Jahrhundert] de Felix Klein (1849-1925), publicado en Berlín en 1926. Esta obra deriva de apuntes tomados por los estudiantes en las lecciones pronunciadas por el célebre autor durante los años de la primera guerra mundial; la importancia poco común de la misma proviene en gran parte de las consideraciones originales sugeridas por el examen comparativo y retrospectivo de investigaciones, en algunas de las cuales él también intervino; la muerte del autor dejó interrumpida la publicación. En gracia a la claridad, enumeramos los títulos de los capítulos que componen el volumen: I. Gauss; II. Francia y la École polytechnique, a principios del siglo XIX; III. La fundación (1826) del «Journal des mathématiques pures et appliquées», de Crelle, y el florecimiento de las matemáticas puras en alemania; IV. Desarrollo de la geometría algebraica después de Möbius, Plücker y Steiner; V. La mecánica y la física matemática en alemania y en Inglaterra hasta 1880 aproximadamente; VI. La teoría general de las funciones, de las variables complejas en Riemann y Weierstrass; VII. Estudio profundizado de la esencia de las funciones algebraicas; VIII. Teoría de los grupos y particular estudio de las funciones holomorfas.
G. Loria
* La bibliografía de la historia de las matemáticas ha alcanzado tal extensión que consideramos inútil toda tentativa de esbozar un cuadro completo. Permítasenos terminar esta rápida y sumaria reseña citando algunas obras de sumo interés: Histoire des sciences mathématiques (1924), de Humbert y Andoyer; Les grands mathématiciens (1939), de E. T. Bell; Storia delle matematiche (1933), de Gino Loria; Les Mathématiques en Grèce au IVe siècle (1935), por A. Rey; Geschichte der Mathematik, de H. Wieleitner, traducida al castellano con el título de Historia de la Matemática (Barcelona, 1928).
G. Loria