Las Teorías Cuánticas, Ernest Rutherford

A pesar de la comodidad que representa para los físicos una materia hipotéticamente continua, las leyes de la química general han llevado a ‘los químicos a formular la hipótesis ató­mica (v. Las teorías atómicas), hipótesis que muy pronto fue aceptada por la mayo­ría de los científicos. Se disociaron las mo­léculas, se contaron los átomos (número de Ávogadro) y los investigadores se hallaron en presencia de cerca de un centenar de elementos; existió, ya, una primera cuantificación de la materia. Pero se hubiera que­rido, si hubiese sido posible, resumir todos estos elementos a unos pocos, o inclusive a un solo elemento básico (lo que podría haberse llamado unidad de la materia).

I. Cuantificación de la materia. El átomo de Rutherford. Numerosas experiencias realizadas a finales del siglo XIX por Thomson, Winson, etc., demostraron que la electricidad era también corpuscular; toda carga eléctrica es un múltiplo entero de una carga: e = 4,80.10-10 u. e. s. Se llegó a continuación a poner de manifiesto los corpúsculos porta­dores de una cargue negativa y que se lla­maron electrones: tubo de Crookes, emisión termoiónica. Se pesaron estos electrones: su masa es muy pequeña: alrededor de 1/1830 de la masa del átomo de hidrógeno. Ha­biendo sido estos electrones separados de la materia, era preciso que la materia los con­tuviera previamente. Finalmente, en 1911, el físico inglés sir Ernest Rutherford (1871- 1937) realizó la desviación de las partículas a través de láminas muy delgadas (las partículas a son átomos de helio portadores de dos cargas positivas). Las partículas a podían inclusive retroceder, como si rebo­tasen: eran pues rechazadas por los centros cargados positivamente. La experiencia de­mostró que estos centros tenían una carga Ze cuando los átomos constitutivos te­nían Z por número en la clasificación de Mendeleiev. Teniendo en cuenta estos he­chos diversos, el mismo Rutherford edificó el primer modelo de átomo. «Cada átomo constituye un verdadero sistema solar en miniatura» (Jean Perrin). El centro debe ser un núcleo de carga + Ze y comprende la masa más importante del átomo, y los satélites deben ser los electrones en número Z para mantener la neutralidad eléctrica del conjunto, pero frente a la física clási­ca, este edificio debía ser inestable: para no caer sobre el núcleo, estos electrones debían describir una órbita en derredor suyo. En tales condiciones ellos debían emi­tir energía sobre un espectro continuo, lo cual no sucede, y debían acabar por caer igualmente sobre el núcleo. Se había lle­gado a un callejón sin salida. Fue entonces cuando el físico danés Niels Bohr (n. 1885) hizo su aparición. En lugar de discutir el átomo de Rutherford, hizo, en 1913, una crí­tica de la Mecánica clásica.

II. Cuantifica­ción de la energía. El átomo de Bohr. Niels Bohr simplemente introdujo en los átomos de Rutherford el concepto de una «mecánica cuántica» cuyas bases habían sido trazadas en 1900 por el físico alemán Max Planck (1858-1947). En efecto, el inglés lord Ray­leigh (1842-1919) había intentado calcular teóricamente la emisión del «cuerpo negro»; hiciera lo que hiciese, su fórmula no con­cordaba con la experiencia adquirida res­pecto a las grandes longitudes de onda (ha­cia el infrarrojo). Planck demostró que se llegaba a una perfecta concordancia si se suponía que la energía estaba cuantificada: todo cambio de energía que se ocasione por medio de una radiación de frecuencia y no puede efectuarse más que por cuanta de energía hv (h o constante de Planck, es igual a 6.55.10-27 ergio/segundo). Pudo verse entonces por qué la fórmula de Rayleigh concordaba mejor con las grandes longitudes de onda que con las cortas : cuando la lon­gitud de onda \ crece, la frecuencia v disminuye, del mismo modo que el cuantum hy; se tiende entonces hacia una mecánica de lo continuo, es decir, la Mecánica clásica. (Es notable el comprobar que, tanto para la Mecánica cuántica como para la Mecánica relativista, la Mecánica clásica aparece como una ley límite). Einstein generalizó esta idea en 1905, cuando fundó la Relati­vidad. Esta última había nacido en cierto modo de la experiencia de Michelson, es de­cir, del duelo onda-corpúsculo referido a la luz (v. Teoría de la Relatividad). Ein­stein concilio las dos tesis, afirmando que la luz tenía una estructura corpuscular; una luz de longitud de onda \ está compuesta de corpúsculos, los fotones («Lichtqüanten») de energía: E = h\> (fórmula de Einstein). Inspirándose en estas ideas, Bohr construyó su átomo. En el modelo de Rutherford: las órbitas de los electrones están cuantificadas, sólo ciertas trayectorias están permitidas — las trayectorias permitidas son aquellas que cumplen el que la «acción de la cantidad de movimiento» sea un múltiplo entero de h (o sea nh)—; sobre una trayectoria permitida, un electrón no irradia energía; si un electrón pasa de una trayectoria permi­tida a otra más próxima al núcleo, produce una emisión de un cuantum de energía luminosa, correspondiente al salto de poten­cial. Puesto que sólo ciertos saltos están permitidos, de ello se desprende la explica­ción de las series de rayos de emisión.

III.      Los cuatro números cuánticos del elec­trón. Principio de Pauli. Acabamos de en­contrar un primer número cuántico: n, lla­mado número cuántico principal. Pero muy pronto la teoría de Bohr se revela insufiiente, es preciso introducir otros tres núme­ros cuánticos. A priori no se ve por qué razón las trayectorias deben ser circulares, mientras que las trayectorias de los pla­netas son elípticas. Sommerfeld introdujo un nuevo parámetro traduciendo la excen­tricidad de la elipse, por lo que también ella debe ser cuantificada: de donde nace el segundo número cuántico: l, llamado nú­mero cuántico subsidiario. I es un número entero o SJn-1. El estudio de las radia­ciones emitidas por un elemento colocado en un campo magnético ha llevado a intro­ducir un tercer número cuántico: m, o nú­mero cuántico magnético. Es un número- entero tal que — l % m S -f l. Debe final­mente afectar a cada electrón un cuarto nú­mero cuántico s, llamado el «spiri» (trompo), que corresponde al movimiento de rotación del electrón sobre sí mismo. Para un elec­trón, s no puede tener más que dos valores: +1/2 y —1/2. Pauli emitió un principio fun­damental, empírico, pero verificado siempre: en un mismo átomo, dos electrones no pue­den tener simultáneamente sus cuatro números cuánticos iguales. Este principio per­mite hallar inmediatamente la tabla perió­dica de los elementos; puesto que, en efecto, a lo sumo se tiene: 2 electrones para n = 1 (capa K); 8 electrones para n — 2 (capa L); 18 electrones para n — 3 (capa M), etc. Pero la teoría de Bohr, inclusive con la aporta­ción de los tres nuevos números cuánticos, se mostró incapaz de resolver otro átomo que no fuera el hidrógeno. Era preciso bus­car otra solución.

IV. Nacimiento de la Mecánica ondulatoria. Ya se vio que Ein­stein había demostrado de una manera muy particular la dualidad onda-corpúsculo que existe en la luz; ésta está compuesta de fotones de energía E = h Y de cantidad de movimiento p = 7iv/c = h/\. Louis de Broglie (n. 1892) hizo notar la profunda analogía formal de dos principios: el de Fermat, que determina la trayectoria de Ios rayos luminosos y el de Maupertuis, que determina la trayectoria de los puntos mate­riales. Inspirándose en estas dos observacio­nes, Louis de Broglie, en 1923, postuló: todo- , corpúsculo material de energía E y de can­tidad de movimiento p (producto de masa X velocidad) está asociado a una onda de frecuencia v y de longitud de onda X tal que: E = hv, p — h/X (relación de Broglie). Dicho de otro modo, la Mecánica clásica es X a una Mecánica ondulatoria lo que la óptica geométrica es a la óptica corriente. La Mecánica ondulatoria (o nueva Mecánica cuántica) había nacido. Se asociará a todo corpúsculo una onda representada matemá­ticamente por una función tp llamada fun­ción de onda, que dependerá evidentemente del tiempo y de las tres variables de espa­cio.

Esta atrevida generalización fue veri­ficada, en 1927, por Davisson y Germer que lograron difractar electrones a través de un cristal, del mismo modo que se difrac­tan las ondas luminosas. Una diferencia fundamental apareció entonces entre esta Mecánica ondulatoria y la Mecánica clá­sica; para esta última, si se conocen las condiciones iniciales (posición, velocidad del punto material en un instante to) y las leyes del movimiento, se puede entonces determinar teóricamente su posición en todo instante t. Por el contrario, como demostró Heisenberg, es imposible, en Mecánica ondu­latoria, determinar simultáneamente la po­sición y la velocidad (o la cantidad de movimiento) de un corpúsculo. Es preciso admitir un error Ax sobre la posición res­pecto al eje Ox, y un error A px sobre la cantidad de movimiento proyectada so­bre el mismo eje; se tiene por lo menos: x A x Apx — h. Así pues, no se podrá decir que en el instante t un corpúsculo se halla en el punto P, sino solamente que tiene una cierta probabilidad de hallarse allí, puesto que no se pueden tener las condiciones ini­ciales perfectamente determinadas. Ahora bien, en óptica, la amplitud de onda en el punto P en el instante t da la intensidad luminosa, es decir, la densidad de fotones, o sea también la probabilidad de encontrar allí un cierto fotón. Por analogía puede impo­nerse a la amplitud de la función de onda el traducir la probabilidad de presencia del corpúsculo. La fórmula exacta estará calcada de la fórmula óptica: la probabilidad de pre­sencia será proporcional a [ ]2 en el punto P en el instante t.

V. La ecuación de Schrö­dinger. La mecánica de los operadores y de las matrices. Ahora que se ha definido per­fectamente la función l|/, será preciso sa­berla calcular. Schrödinger dio en 1926 una ecuación diferencial en \p\ que es verdade­ramente la ecuación del movimiento del corpúsculo: m = masa del corpúsculo; E = energía total del corpúsculo; V = potencial. Si se intro­ducen las notaciones operacionales, la escri­tura de esta ecuación se simplifica conside­rablemente : H 4» = E <J>, llamada igualmente ecuación con los valores propios de la ener­gía (H = operador Hamiltoniano). Si se quiere calcular es preciso introducir los datos particulares del problema a conside­rar: condiciones en los límites, condiciones iniciales. Se encuentra entonces que la ecua­ción tiene solamente un sentido para cier­tos valores de E. Vuelve a encontrarse la cuantificación de la energía. Más todavía: se ve inmediatamente que las ecuaciones de Mecánica ondulatoria se obtienen rápida­mente cambiando en las ecuaciones clásicas cada magnitud a por un operador A llamado operador asociado (el Hamiltoniano H es el operador asociado a la energía E) y los únicos valores posibles para a son aquellos para los que A = a 4 admite soluciones normales en . Es así como se encontró la cuantificación de la mayor parte de las magnitudes estudiadas. La aplicación a los átomos de esta nueva Mecánica dio exce­lentes resultados, hasta donde pudieron lle­gar los cálculos. Pero desde el instante en que se abordan problemas un poco compli­cados, se está obligado a proseguir haciendo numerosas hipótesis simplificadoras y a em­plear métodos aproximados de cálculo. A pe­sar de lo cual, los resultados están notable­mente de acuerdo con la experiencia.

VI. Conclusión. Como se ve, el empleo de esta nueva mecánica es a menudo difícil, y sería inútil servirse de ella para resolver problemas para los que no ha sido conce­bida. En general, puede decirse que se uti­liza en los sistemas cuyas dimensiones son del orden de las magnitudes de ondas aso­ciadas, como por ejemplo en el caso de la óptica (problemas de difracción, interferen­cia). A partir del instante en que la lon­gitud de onda es continua un gran número de veces en las dimensiones del sistema, las ecuaciones del tipo A = a  admiten una gran densidad de valores posibles para la magnitud a: se tiende rápidamente hacia una distribución casi continua de los valo­res posibles y la Mecánica clásica se puede aplicar con muy gran aproximación. Pero, en lo infinitamente pequeño, la Mecánica ondulatoria es indispensable y se revela sorprendentemente fecunda. Es curioso no­tar que en veinticinco años (1900-1925), la física clásica (incluida la geometría), que había sido hasta este momento omnipotente, se ha visto reducida a un campo de aplica­ción muy restringido en medio de un Uni­verso relativista y cuantificado.