[Questioni riguardanti le matematiche elementari]. Obra del matemático italiano Federico Enriques (1871-1946), publicada en Bolonia, en tres volúmenes, entre 1924-27. A F. Klein se debe la observación de que la razón por la cual durante muchos siglos se han hecho tantos conatos estériles para resolver los tres problemas clásicos de la Geometría (duplicación del cubo, trisección del ángulo, cuadratura del círculo), reside en la igno­rancia de métodos para contestar a la cues­tión preliminar de si son resolubles por los medios de que entonces se disponía, ofre­cidos sólo por el álgebra en el estado que ésta alcanzó a principios del siglo XIX. Aho­ra, para evitar la repetición de tan doloroso fenómeno, no existe manera mejor que la de enseñar a los que se dedican a la geo­metría, las teorías algebraicas que pueden racionalmente preverse y que han de serles útiles’ en los casos análogos a aquellos que fueron el tormento de los antiguos; o sea, mostrarles cómo se presentan los elementos de las ciencias exactas ante un investigador moderno; esto es, para emplear una frase ya consagrada por el uso, hacerles examinar los mismos elementos «desde un punto de vista superior». Tal es precisamente el fin de la obra de Enriques, en la cual él, nada menos que con el concurso de dieciocho co­laboradores (en ese número figuran en la última edición de la obra), se ha propuesto examinar un buen número de teorías geo­métricas y algebraicas.

El éxito conseguido por esta obra monumental (2.000 páginas) lo demuestran sus tres ediciones agotadas ya. Desde 1900, Enriques se ocupó de este meritorio trabajo y publicó sobre él un pri­mer ensayo, dedicado únicamente a la geo­metría; pero pronto advirtió que la distin­ción entre las dos grandes secciones de la matemática tendía a desaparecer como con­secuencia de la actual dirección asumida por ella, y en 1912, amplió el plan de su obra de manera que abrazase también el álgebra; y así se originó la II edición, en la cual, sin abandonar su propósito primi­tivo se halla intensificada la tendencia crítica; en la III edición, además, se ha con­cedido más amplio campo al elemento his­tórico y además se han tenido en cuenta las modificaciones que fueron impuestas a la enseñanza de las matemáticas en las es­cuelas secundarias italianas. A la pregunta que, sin duda, se hace el lector de quiénes fueron los colaboradores de Enriques y qué temas trataron, responde la siguiente lista:

Vol. I. Enriques: «La evolución de las ideas geométricas en el período griego: punto, lí­nea y superficie». Amaldi: «Sobre los con­ceptos de punto, de recta y de plano». Guarducci: «Sobre la congruencia y el movi­miento». Vailati: «Sobre la teoría de las proporciones». Enriques: «Los números reales».

Vol. II. Amaldi: «Sobre la teoría de la equivalencia». Chisini: «Área, longitud y volumen en la geometría elemental». Gigli: «Números complejos de dos o más unida­des». Bompiani: «El principio de continuidad y lo imaginario en geometría». Bonola: «Sobre la teoría de las paralelas y las geo­metrías no euclidianas». Enriques: «Espacio y tiempo ante la crítica moderna».

Vol. III. Sabbatini: «Sobre los métodos elementales para la resolución de los problemas geomé­tricos». Daniele: «Sobre la resolución de los problemas geométricos con el compás». Giacomini: «Sobre la resolución de los pro­blemas geométricos con la regla y con los instrumentos lineales: contribución a la geo­metría proyectiva». Castelnuovo: «Sobre la resolubilidad de los problemas geométricos con los instrumentos elementales: contribu­ción a la geometría analítica». Enriques: «Sobre las ecuaciones algebraicas resolubles por radicales cuadráticos y sobre la constructibilidad de los polígonos regulares». Daniele: «Sobre las construcciones del heptadecágono regular». Conti: «Problema de 3.^er grado: duplicación del cubo y trisección del ángulo». Notari: «Las ecuaciones, de cuarto grado y los sistemas de segundo grado con dos incógnitas». Notari: «La ecuación de quinto grado: teorema de Ruffini-Abel». Caló: «Sobre los problemas tras­cendentes y, en particular, sobre la cuadra­tura del círculo». Enriques: «Algunas obser­vaciones generales sobre los problemas geo­métricos».

Vol. IV. Scarpis: «Sobre los nú­meros primos y los problemas de análisis indeterminado». Padoa: «Sobre los máximos y mínimos de las funciones algebraicas ele­mentales». Chisini: «Sobre la teoría elemen­tal de los isoperímetros». Enriques: «Máxi­mos y mínimos en el análisis moderno».

Un examen cuidadoso de la materia tratada, pone en evidencia que los autores acabados de enumerar dieron, sin excepción, pruebas de indiscutible competencia en los temas tratados, de completo conocimiento de su correspondiente bibliografía y que, en mu­chos casos, expresaron opiniones originales, que se deberán tener en cuenta en el por­venir. Pero hay que hacer observar que los puntos tratados no agotan la totalidad del vasto tema: por eso es de lamentar que la llorada muerte del profesor Enriques haga muy problemático que estas lagunas puedan ser colmadas en el porvenir. Finalmente se observa que hasta ahora, bajo la expresión «matemáticas elementales», se comprendía la totalidad de las ramas de las matemáticas, hasta los elementos del cálculo infinitesi­mal inclusive; aquí en cambio se llegó a la teoría de las variaciones en sus más eleva­dos y modernos desarrollos; de manera que el lector reflexivo se pregunta cuál es el significado de las palabras escritas en el tí­tulo de la obra que acabamos de examinar.

G. Loria